游戏理论之Shapley Value（Shapley值）

笔者并没有深入了解过Game theory，只是因为有人咨询笔者是否可以使用Shapley Value做预测，才对其做了一些研究，记录在此。笔者的结论是Shapley Value并不适合做预测。
参考资料：
A Course in Game Theory
UBC的Game Theory课程
（UBC课程浅显易懂，《A Course in Game Theory》里面有详细的Shapley Value的来龙去脉，建议结合着看）

1. 期望解决的问题

n个人合作，创造了v(N)的价值，如何对所创造的价值进行分配。
notation: 全集N={x1,x2,⋯,xn}有n个元素xi，任意多个人形成的子集S⊆N，有v(S)表示S子集中所包括的元素共同合作所产生的价值。最终分配的价值（Shapley Value）ψi(N,v)。

2. 分配原则

有效性：所有价值均被分配 ∑i∈Nψi(N,v)=v(N)
对称性：如果xi和xj地位等价（可以互相替代），则两者的收益应该是一样的。
未做贡献者收益为0
Additivity（可加性）：如果同一批人完成两项任务，那么两项任务的收益一起分配应该和分开分配的结果一致。

3. Shapley Value

公式如下所示，论文中证明了shapley value是满足上诉四个条件的唯一解。（详情参考A Course in Game Theory）
游戏理论之Shapley Value（Shapley值）

4. 对Shapley Value的理解

Shapley Value其实是求累加贡献（marginal contribution）的均值。例如A单独工作产生价值v({A})，后加入B之后共同产生价值v({A,B})，那么B的累加贡献为v({A,B})−v({A})。对于所有能够形成全集N的序列，求其中关于元素xi的累加贡献，然后取均值即可得到xi的Shapley Value值。

4.1. 先来一个例子：

题面如下图，求取三个元素的Shapley Value：
游戏理论之Shapley Value（Shapley值）
基本解法就是枚举每个可以产生全集的序列（N!个），然后计算其中每个元素的累加贡献（marginal contribution），最后再求均值。如下图：

观察第一行，首先加入元素1，则有元素1的累加贡献为v({1})=0；然后加入元素2，则有元素2的累加贡献为v({1，2})−v({1})=90；最后加入元素3，则有元素3的累加贡献为v({1，2，3})−v({1，2})=30。其他行同理，最后对每一列加和平均，得到最终的Shapley Value。

4.2. Shapley Value公式解释

如上所述，Shapley Value是累加贡献（marginal contribution）的均值。但枚举所有序列可能性的方式效率不高，注意到累加贡献的计算实际为集合相减，对于同样的集合计算次数过多是效率低下的原因。公式中S表示序列中位于xi前面的元素集合，进而N∖S∖{xi}表示的是位于xi后面的元素集合，而满足只有S集合中的元素位于xi之前的序列总共有|S|!(|N|−|S|−1)!个，其内序列中产生的xi累加贡献都是v(S⋃{xi})−v(S)；最后对所有序列求和之后再取均值。

5. 关于Shapley Value是否可以做预测

笔者的个人观点是不可以，因为Shapley Value本质上是对最终全集产生的收益做分配的问题。所以首先预测问题求解过程中就需要满足有效性的限制（∑i∈Nψi(N,v)=v(N)），这就已经难以保证优解；其次考虑合作必然产生收益的特殊情况（v(S′)≥v(S) iff. S⊆S′），则必有∑xi∈Sψi(N,v)≥v(S)，即所有的预测都是高于实际值的；最后，求取Shapley Value的过程中需要用到所有子集的收益值，使用Shapley Value实际上不是做预测，而是做压缩。