前言：
新年第一个工作日，为什么这么颓这么困。。。
学长退役的时候，曾经问过我：你们都知道我们的blog吗
我表示Of course
今天在网上翻到了abclzr的blog
想当年莫比乌斯反演是TA爷给学长们讲的
虽然听过天宇哥哥，姜爷和丁队的课，然而对于这种高级数论，不敢说掌握（甚至连理解都做不到）
基础知识
学长blog的第一部分是：枚举除法
不要以为这是c++入门操作而不xi看
在做了一部分反演题之后，发现枚举法是最常用的一种奇技淫巧
- trunc(n/i)只有O(sqrt(n))种取值
- 对于i，
是与n除以i并下取整取值相同的一段区间的右端点
- 一个很有用的性质：
- 上取整也有上述的3个性质
积性函数
- f(ab)=f(a)*f(b)
- 完全积性：不要求gcd(a,b)=1
- 一般会考虑成：
- 当f不是0的常值函数时，f(1)=1
- 积性函数的狄利克雷前缀和也是积性函数
- 两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数
- 积性函数可以线性筛出，线筛可以找到每个数的最小质因子及其次数，如果我们可以以较小的代价求出f(p^k)，我们就可以线筛了
常见的积性函数
- 除数函数σk(n)=∑d^k，表示n的约数的k次幂和
- 约数个数函数：d(n)
- 约数和函数σ(n)，表示n的约数之和
- 欧拉函数φ(n)，表示不大于n且与n互质的正整数个数
- 莫比乌斯函数μ(n)，在狄利克雷卷积的乘法中与恒等函数互为逆元，完全积性
- 元函数e(n)=[n=1]，狄利克雷卷积的乘法单位元，完全积性
- 恒等函数I(n)=1：完全积性
- 单位函数id(n)=n：完全积性
- 幂函数idk(n)=n^k：完全积性
初等积性函数μ
- 官方定义
- 简单性质
- 莫比乌斯反演
初等积性函数φ
- φ(n)表示1~n于n互质的数的个数
关于φ函数的计算，有好几种方式： - φ实际上完全可以用μ代替
- 简单性质：
杜教筛
在网上翻大神的blog的时候，看到别人的老师说的杜教筛秘诀：
这里就必须要吐槽一下了：
人家的老师这么专业，这么友善
能给学生如此细心的讲解问题呢（而且人家的老师还自己维护blog，方便学生学习）
而我们的老师也很NB：
会教物理，会玩手机，会查监控，会抓颓，会搞卫生，会灌鸡汤。。。
所以我们学不好不是我们的错
我无f*ck说
要学杜教筛，我们首先需要介绍狄利克雷卷积：
狄利克雷卷积满足以下性质：
（设数论函数集为I）
- 结合律： ∀f,g,k∈I，(f∗g)∗k=f∗(g∗k)
- 单位元： ∃ϵ∈I，∀f∈I，f∗ϵ=ϵ∗f=f
- 逆元： ∀f∈I，∃f∈I，f∗g=ϵ
- 封闭性： ∀f,g∈I，f∗g∈I
- 交换律： ∀f,g∈I，f∗g=g∗f
（实际上也就是计算律有那么一丁点用）
有了狄利克雷卷积，我们就来看一下杜教筛（终于进入了正题）：
假设我们要求：
设g∈I，且g(1)!=0
也就是
如果我们能够快速地对g和f∗g求和，
那么由于所有的⌊n/i⌋只有O(sqrt(n))种，则对于所有i，
计算S(⌊n/i⌋)的时间复杂度为