运筹学Operational Research--线性规划

运筹学的核心思想：最优化；
运筹学的系统观，即全局最优化；

线性规划(Linear Programming)

L.P.数学模型：

三要素：决策变量、目标要求、约束条件
一般地，
$Max~z=CX \\ s.t.\left\{\begin{matrix} AX\leqslant b\\ X\geqslant 0 \end{matrix}\right.$
其中， $X$ 是决策变量向量，C称为价格系数向量（一般是效益等的，这里用价格）， $A$ 称为技术系数矩阵， $b$ 称为资源限制向量。
技术系数，又称“条件约束系数”、“单耗”，来源于：A中的元素一般是资源的单耗量，各个工厂的技术不同，对应的资源单耗量也不同，所以称为技术系数。
$s.t.$ 是subject to的缩写，意为约束条件。
标准型及其转化

转化需要注意：
1. 要求目标函数用 $max$ ,否则对目标函数整体加负号，这样就把最小值问题转化成了最大值；
2. 要求约束方程为等式。否则,引入松弛变量将不等式转化为等式约束。如果是 $\leq$ ，则在左边加入非负松弛变量；如果是 $\geq$ ，则在左边引入负的松弛变量。示例如下：
  标准化前：
  $max ~ z=70x_{1}+30x_{2}\\ s.t.\left\{\begin{matrix} 3x_{1}+9x_{2}\leqslant 540\\ 5x_{1}+5x_{2}\leqslant 450\\ 9x_{1}+3x_{2}\leqslant720\\ x_{1},x_{2}\geqslant0 \end{matrix}\right.$
  标准化之后：
3. 要求约束方程右边常数是非负的，否则在两边同时乘以“-1”使得约束方程右边常数变为非负。
4. 要求所有变量非负。若 $x_{k}$ 为无约束变量（即可正可负），则令 $x_{k}={x}'_{k}-{x}''_{k}$ ，其中 ${x}'_{k},{x}''_{k}>0$ 即可。
5. 例题
  
  标准化之后：

线性规划解的名称：
可行解：凡满足所有约束条件的所有解称为可行解，对应着可行方案；
可行解域：所有可行解的集合。可行解域中的任何一点，即可行点；
最优解：使得目标函数值达到最优的可行解；
基本解：所有约束条件直线的交点对应的解；
基本可行解：基本解&&可行解；

求解方法：
4. 图解法
利用数模中防护曾式的几何图形来直接找到最优解；
该方法简单直观，但只适用于两个变量；
两个变量线性规划的性质：
1. 两个变量的线性规划问题的可行域（如果存在的话）是个凸多边形（可能有界，也可能无界）；
2. 如果两个变量的线性规划问题有最优解，则最优解顶可以在可行域的某个顶点处取得。
5. 单纯形法
线性规划的通用方法。适用于多个变量，但比较抽象。
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