连续型概率分布，正态分布

一。一维连续型随机变量

P(a<X<b)=P(a⩽X⩽b)$P(a<X<b)=P(a⩽X⩽b)$
=F(b)−F(a)=∫baf(x)dx$=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$
F(x)=∫x−∞f(t)dt$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt$
称F(x)是随机变量X的分布函数，f(x)为X的概率密度

二。性质：

1)f(x)⩾0;$f(x)⩾0;$
2)∫+∞−∞f(x)dx=1${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$
3) P{X=a} = 0,

三。重要分布

1).均匀分布

{1b−a,a⩽x⩽b0,others$\{\begin{array}{cc}& \frac{1}{b-a},a⩽x⩽b\\ & 0,others\end{array}$

2).指数分布

3).正态分布

f(x)=12π√σe(x−μ)22σ2(−∞<x<+∞)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

μ$\mu$ 为期望值，σ$\sigma$ 为方差。称X为服从参数为μ$\mu$ 和σ$\sigma$的正态分布，简记为
X ~ N(μ,σ2)$N(\mu ,{\sigma }^2)$

4).标准正态分布

当μ$\mu$=0时，σ$\sigma$ =1时，称为正态分布。简记为 X ~ N（0，1）。
将一般正态分布做标准化转换

Y=X−μσ$Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$ ~ N(0,1)

F(x)=Φ(x−μσ)$F(x)=\mathrm{\Phi }(\frac{x-\mu }{\sigma })$

四。示例

【例1】设随机变量X服从正态分布N（0,1），对给定的α$\alpha$，数μα${\mu }_{\alpha }$满足P(X>μα)$P(X>{\mu }_{\alpha })$，若P(|X|<x)=α$P(|X|<x)=\alpha$，则 x 等于（）。
(A)μα2${\mu }_{\frac{\alpha }{2}}$
(B)μ1−α2${\mu }_{1-\frac{\alpha }{2}}$
(C)μ1−α2${\mu }_{\frac{1-\alpha }{2}}$
(D)μ1−α${\mu }_{1-\alpha }$

解：设置信区间分割点为 μα${\mu }_{\alpha }$
P(|X|<x)=α$P(|X|<x)=\alpha$
⇒$\Rightarrow$
P(|X|<μα)=α$P(|X|<{\mu }_{\alpha })=\alpha$
1−2Φ(x)⩽α$1-2\mathrm{\Phi }(x)⩽\alpha$
Φ(x)⩾1−α2$\mathrm{\Phi }(x)⩾\frac{1-\alpha }{2}$

Φ(μα)⩾1−α2$\mathrm{\Phi }({\mu }_{\alpha })⩾\frac{1-\alpha }{2}$

所以，μα⩾1−α2${\mu }_{\alpha }⩾\frac{1-\alpha }{2}$
所以，选择(C)

【例2】设电源电压 U ~ N(220,25^2) (单位：V)，通常有3种状态：
(1)不超过200V；
(2)在200V~240V之间；
(3)超过240V。
在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别为0.1；0.001；0.2；
(1)求电子元件损坏的概率α$\alpha$
(2)在电子元件已损坏的情况下，试分析电压所处的状态。

【解】:
(1)求电子元件损坏的概率α$\alpha$
由前面博客：条件概率，乘法定理 (概统1)
全概率公式：
P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)$P(A)=\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)$
B1$B_1$ = 电压小于等于200V, U⩽200V$U⩽200V$
B2$B_2$ = 电压大于200V，小于等于240 ; 200V<U⩽240V$200V<U⩽240V$
B3$B_3$ = 电压大于240V, 240V<U$240V<U$

P(A)=∑3j=1P(A|Bj)P(Bj)$P(A)=\sum _{j=1}^{3}P(A|B_j)P(B_j)$

P(A|B1)=P(U⩽200V)$P(A|B_1)=P(U⩽200V)$
标准化迁移：
F(x)=Φ(x−μσ)$F(x)=\mathrm{\Phi }(\frac{x-\mu }{\sigma })$

标准化迁移：μ=220,α=25$\mu =220,\alpha =25$
U∗=U−22025$U^{\ast }=\frac{U-220}{25}$

1.1) P(A|B1)$P(A|B_1)$

P(U⩽200V)==>P(U−22025<|200−22025|)$P(U⩽200V)==>P(\frac{U-220}{25}<|\frac{200-220}{25}|)$
Ulow=|200−22025|$U_{low}=|\frac{200-220}{25}|$ = |0.8|
P(Ulow$U_{low}$)= 0.7881

P(U^*<|-0.8|) , 查标准正态分布表 0.8

0.800 对应 0.7881
P(U^*<|-0.8|) = 1−Φ(0.8)$1-\mathrm{\Phi }(0.8)$=1-0.7881 = 0.2119

P(A|B1)=P(U∗⩽Ulow)$P(A|B1)=P(U^{\ast }⩽U_{low})$ = 0.2119

1.2) P(A|B2)$P(A|B_2)$

B2$B_2$ = 电压大于200V，小于等于240 ; 200V<U⩽240V$200V<U⩽240V$
U∗=U−22025$U^{\ast }=\frac{U-220}{25}$
Ulow=|200−22025|$U_{low}=|\frac{200-220}{25}|$ = |0.8| = 0.7881
Uhigh=|240−22025|$U_{high}=|\frac{240-220}{25}|$ = |0.8| = 0.7881

查正态分布表：
0.800 对应 0.7881
Φ(0.8)=0.7881$\mathrm{\Phi }(0.8)=0.7881$
P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2)$P(U_{low}⩽U^{\ast }<U_{high})=1-P(\alpha 1)-P(\alpha 2)$

P(α1)=1−0.7881=0.2119$P(\alpha 1)=1-0.7881=0.2119$
P(α2)=1−0.7881=0.2119$P(\alpha 2)=1-0.7881=0.2119$

P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2)$P(U_{low}⩽U^{\ast }<U_{high})=1-P(\alpha 1)-P(\alpha 2)$
=1-0.2119-0.2119 = 0.5762
P(A|B2)=P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=0.5762$P(A|B2)=P(U_{low}⩽U^{\ast }<U_{high})=0.5762$

1.3) P(A|B3)$P(A|B_3)$
B3$B_3$ = 电压大于240V, 240V<U$240V<U$
U∗=U−22025$U^{\ast }=\frac{U-220}{25}$
Uhigh=|240−22025|$U_{high}=|\frac{240-220}{25}|$ = |0.8| = 0.7881

P(A|B3)=P(U∗>Uhigh)$P(A|B_3)=P(U^{\ast }>U_{high})$ = P(α2)=1−0.7881=0.2119$P(\alpha 2)=1-0.7881=0.2119$

所以，电子元件损坏的概率
α=P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)$\alpha =P(A)=\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)$
=P(A|B1)∗P(B1)+P(A|B2)∗P(B2)+P(A|B3)∗P(B3)$=P(A|B_1)\ast P(B_1)+P(A|B_2)\ast P(B_2)+P(A|B_3)\ast P(B_3)$
=0.2119*0.1 + 0.5762*0.001 +0.2119*0.2
≈0.0624$\approx 0.0624$

(2)在电子元件已损坏的情况下，试分析电压所处的状态。
根据题意，元件损坏的条件分三种电压状态
如果所求元件损坏的概率是P(A)， 那么，元件损坏时，电压所处有3种状态，所以，就是求
P(B1|A)
P(B2|A)
P(B3|A)

P(B1|A)=P(A|B1)P(B1)P(A)=0.2119∗0.10.0624=0.34$P(B_1|A)=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A)}=\frac{0.2119\ast 0.1}{0.0624}=0.34$
P(B2|A)=P(A|B2)P(B2)P(A)=0.5162∗0.0010.0624=0.0083$P(B_2|A)=\frac{P(A|B_2)P(B_2)}{P(A)}=\frac{0.5162\ast 0.001}{0.0624}=0.0083$
P(B3|A)=P(A|B3)P(B3)P(A)=0.2119∗0.20.0624=0.68$P(B_3|A)=\frac{P(A|B_3)P(B_3)}{P(A)}=\frac{0.2119\ast 0.2}{0.0624}=0.68$

【例3】 某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩 X∼N(μ,σ2)$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取。

【解】分析，若已知正态分布，则只需知道分布函数上面两个点，就可以求出正态分布的μ$\mu$和σ$\sigma$，已知μ$\mu$和σ$\sigma$，又知道录取率，就可以求得
Xh$X_h$，看看某人成绩是否大于 Xh$X_h$

Φ(x1−μσ)=p1$\mathrm{\Phi }(\frac{x1-\mu }{\sigma })=p1$
Φ(x2−μσ)=p2$\mathrm{\Phi }(\frac{x2-\mu }{\sigma })=p2$

Φ(90−μσ)=12526=0.0228$\mathrm{\Phi }(\frac{90-\mu }{\sigma })=\frac{12}{526}=0.0228$
Φ(60−μσ)=83526=0.158$\mathrm{\Phi }(\frac{60-\mu }{\sigma })=\frac{83}{526}=0.158$

Φ(X>X90+)=0.0228$\mathrm{\Phi }(X>X_{90+})=0.0228$
Φ(X⩽X90+)=1−0.0228=0.9772$\mathrm{\Phi }(X⩽X_{90+})=1-0.0228=0.9772$

反查表，0.0228，得正态分布随机表量
Φ(X⩽X90+)=0.9772$\mathrm{\Phi }(X⩽X_{90+})=0.9772$ ,
X_{90+}= 2.0
x1−μσ=2.0$\frac{x1-\mu }{\sigma }=2.0$
90−μσ=2.0$\frac{90-\mu }{\sigma }=2.0$ (1)

注意：依题意，μ$\mu$会介于90分和60分之间

Φ(X⩽X60−)=0.158$\mathrm{\Phi }(X⩽X_{60-})=0.158$
Φ(X>X60−)=1−0.158=0.8412$\mathrm{\Phi }(X>X_{60-})=1-0.158=0.8412$
反查表，0.8412对应
X_{60-} = 1.0
−(x2−μ)σ=1.0$\frac{-(x2-\mu )}{\sigma }=1.0$
−(60−μ)σ=1.0$\frac{-(60-\mu )}{\sigma }=1.0$ (2)

(1)和(2)解联立方程，得
μ=70，σ=10$\mu =70，\sigma =10$

设录取分数线为 Xh$X_h$
Φ(Xh−μσ)=155526$\mathrm{\Phi }(\frac{X_h-\mu }{\sigma })=\frac{155}{526}$ = 0.295
P(X<Xh∗)=1−Φ(Xh∗)=1−0.295=0.705$P(X<X_h\ast )=1-\mathrm{\Phi }(X_h\ast )=1-0.295=0.705$
反查表，得
X_h*=0.54
Xh∗=Xh−μσ$X_h\ast =\frac{X_h-\mu }{\sigma }$ =0.54
X_h=75.4
所以，得到分数线为X_h=75分

回答问题，某人78分，大于分数线75分，可以被录取。