求圆和椭圆上任意角度的点的坐标

圆上任意角度的点的坐标

如上图，给定圆心（Cx,Cy）,半径为R， 求$\theta$θ对应的点的坐标？ 此处$\theta$θ是相对于水平轴的角度。

显然我们可以使用极坐标转换来求：
$\left\{\begin{matrix} px= Cx+Rcos(\theta) \\ py= Cy+Rsin(\theta) \end{matrix}\right.${px=Cx+Rcos(θ)py=Cy+Rsin(θ)​
注意如果以上竖直坐标系向下，此时变为图像的坐标系，即

结果变成：

$\left\{\begin{matrix} px= Cx+Rcos(\theta) \\ py= Cy-Rsin(\theta) \end{matrix}\right.${px=Cx+Rcos(θ)py=Cy−Rsin(θ)​
仅仅是y变了。

椭圆上任意角度的点的坐标

首先我们先来考虑标准椭圆上任意角度的点的坐标，再进行推广。

已知主轴a（即椭圆箭头所指方向对应的轴）,次轴b,求解与水平轴相交$\theta$θ对应的点的坐标？
$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=&1 \\ \frac{y}{x}& =& \tan(\theta) \end{matrix}\right.${a2x2​+b2y2​xy​​==​1tan(θ)​
将上面的第二式带入第一式，可以求解得到：
$x^2=\frac{a^2b^2}{b^2+a^2\tan^2(\theta)}$x2=b2+a2tan2(θ)a2b2​
这时我们考虑$\theta$θ的范围，可以得到：
(一). $0\leq\theta&lt;pi/2$0≤θ<pi/2 或者 $\frac{3*pi}{2}&lt;\theta \leq 2*pi$23∗pi​<θ≤2∗pi
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \\ y=\frac{ab\tan(\theta)}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​x=b2+a2tan2(θ)​ab​y=b2+a2tan2(θ)​abtan(θ)​​
(二). $pi/2&lt;\theta&lt;\frac{3*pi}{2}$pi/2<θ<23∗pi​
$\left\{\begin{matrix} x=-\frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \\ y=-\frac{ab\tan(\theta)}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2(\theta)}} \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​x=−b2+a2tan2(θ)​ab​y=−b2+a2tan2(θ)​abtan(θ)​​
(三). $\theta = pi/2$θ=pi/2
$\left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=b \end{matrix}\right.${x=0y=b​
(四). $\theta = \frac{3*pi}{2}$θ=23∗pi​
$\left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=-b \end{matrix}\right.${x=0y=−b​
再考虑一般情况下的椭圆，如下：

如上$\theta\in[0,2*pi]$θ∈[0,2∗pi]是相对于主轴的角度，$\alpha\in[-pi,pi]$α∈[−pi,pi], 不过我们一般仅仅考虑$\alpha\in[0,pi]$α∈[0,pi],求$\theta$θ对应的点的坐标？

基本思路就是先转换成标准椭圆，再应用标准椭圆下的结果。

显然我们需要将以上椭圆的中心移到原点，再绕原点旋转$-\alpha$−α ,即顺时针旋转$\alpha$α，即：
$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=R(\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} X_c\\Y_c \end{pmatrix})$(xy​)=R((XY​)−(Xc​Yc​​))
其中
$R=\begin{pmatrix} cos(-\alpha) &amp;-sin(-\alpha) \\ sin(-\alpha) &amp; cos(-\alpha) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) &amp;sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) &amp; cos(\alpha) \end{pmatrix}$R=(cos(−α)sin(−α)​−sin(−α)cos(−α)​)=(cos(α)−sin(α)​sin(α)cos(α)​)
因此
$\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix} =R^{-1}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} X_c\\Y_c \end{pmatrix}$(XY​)=R−1(xy​)+(Xc​Yc​​)
其中
$R^{-1}=R^{T}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) &amp;-sin(\alpha) \\ sin(\alpha) &amp; cos(\alpha) \end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\bigstar)$R−1=RT=(cos(α)sin(α)​−sin(α)cos(α)​)                           (★)
这样将前面$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$(xy​) 的四个结果应用过来，即得到倾斜的椭圆上的对应角度的点的坐标。

扩展：

1. 如果以上的角度是相对于水平轴的角度，则对应的椭圆上的点的坐标如何求呢？
   答： 其实很简单，只需要：
   $\theta&#x27;=\left\{\begin{matrix} \theta-\alpha+2*pi, &amp; \theta&lt;\alpha \\ \theta-\alpha, &amp; \theta \geq \alpha \end{matrix}\right.$θ′={θ−α+2∗pi,θ−α,​θ<αθ≥α​
   将$\theta&#x27;$θ′替换以上标准椭圆下的$\theta$θ即可。
2. 如果竖直坐标轴为竖直向下的，即为图像坐标系下的椭圆，那么如何求对应的角度？
   答：
   需要做两方面的改变即可：
   $\left\{\begin{matrix} \alpha\rightarrow -\alpha\\ y\rightarrow -y \end{matrix}\right.${α→−αy→−y​
   第一行改变$\bigstar$★出的$\alpha$α. 第二行改变标准椭圆下的y值的符号。

matlab代码

demo.m
################################
center_x=282;
center_y=263;
phi=pi/6;
R1=141;
R2=62;
%DrawEllipse([center_x,center_y],R1,R2,phi);
axis equal;
hold on;
set(gca,'ydir','reverse')
for angle=linspace(0,3*pi/2,360)
   [ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle );
   plot(px,py,'ro');
   hold on;
end
axis([0,500,0,500])

function [ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle )
% 求椭圆某个角度上的点的坐标。
%https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle
%https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467

%https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle
%另一种解法  从极坐标的角度出发。

% 椭圆参数  圆心 (center_x.center_y) 角度 phi(-pi,pi)，实际上仅考虑（0，pi） 沿着角度的主轴半径R1，另一主轴对应的半径R2
% 求相对于水平轴x轴上angle（基于0-2pi之间）上对应的点坐标。
% 注意求解的坐标系为：水平向右为x轴,竖直向上为y轴。 如果竖直向下为y轴，则下面的y应该变换成-y， phi变成-phi

%先将斜的椭圆转正，并平移到原点。方法就是平移到中心，且旋转-phi角度,再应用标准椭圆求取点。
if(angle<phi)
    theta = angle-phi+2*pi;  %想对于主轴的角度
else
    theta = angle-phi;
end
% theta为相对于主轴的角度
alpha = -phi;    %与竖直的轴有关，如果是竖直向上，则变为正phi
% 先计算标准椭圆 x^2/R1^2+y^2/R2^2=1  与 直线 y/x=tan(angle)的交点。
assert(angle>=0 && angle<=2*pi);
if(theta==pi/2)
    x=0;
    y=R2;
elseif(theta==pi*3/2)
    x=0;
    y=-R2;
elseif(theta>pi/2 && theta<pi*3/2)
    x=-R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
    y=-R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
else
    x=R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
    y=R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2); 
end
 y=-y;    %与竖直的轴有关，如果是竖直向上，则变为正y
% 将以上结果转换回去
px= cos(alpha)*x-sin(alpha)*y+center_x;
py=sin(alpha)*x+cos(alpha)*y+center_y;

end

function DrawEllipse(C,a,b,alpha)
% DRAWELLIPSE plots an ellipse
%   DrawEllipse(C,a,b,alpha) plots ellipse with center C, semiaxis a
%   and b and angle alpha between a and the x-axis

s=sin(alpha); c=cos(alpha);
Q =[c -s; s c]; theta=[0:0.02:2*pi];
u=diag(C)*ones(2,length(theta)) + Q*[a*cos(theta); b*sin(theta)];
plot(u(1,:),u(2,:));
hold on;
plot(C(1),C(2),'+');

显示结果，起点对应着角度为0。

参考文献

1. https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle （主要参考这个）
2. https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle （这里有一个从极坐标变换角度新的推导）
3. https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467