【离散数学】1.3集合的运算

并集

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定义

设A,B是两个集合，则集合A与B的并集定义为：

A∪B={x|x∈A或x∈B}

文氏图

举例

• 集合{1,3,5}和集合{1,2,3}的并集是{1,2,3,5}；
• 若集合A是选修了音乐欣赏的学生，B是选修了西方文学的学生，则A∪B是选修了音乐欣赏或选修了西方文学或两门课都同时选修的学生。

交集

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定义

设A,B是两个集合，则集合A与B的交集定义为：

A∩B={x|x∈A并且x∈B}

文氏图

举例

• 集合{1,3,5}和集合{1,2,3}的交集是{1,3}；
• 若集合A是选修了音乐欣赏的学生，B是选修了西方文学的学生，则A∩B是既选修了音乐欣赏又选修了西方文学的学生。

补集

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定义

设U是全集，则集合A的补集定义为：

A¯¯¯={x|x∉A}

文氏图

举例

• 集合{1,3,5}对于全集{1,2,3,4,5,6,7,8}的补集是{2,4,6,7,8}；
• 若集合A是选修了音乐欣赏的学生，全集U是所有在校学生，则A¯¯¯是没有选修音乐欣赏的学生。

差集

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定义

设A,B是两个集合，则集合A与B的差集定义为：

A−B={x|x∈A并且x∉B}

文氏图

举例

• 集合{1,3,5}和集合{1,2,3}的差集是{5}
• 若集合A是选修了音乐欣赏的学生，B是选修了西方文学的学生，则A−B是选修了音乐欣赏但没有选修西方文学的学生。

对称差集

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定义

设A,B是两个集合，则集合A与B的对称差集定义为：

A⊕B={x|(x∈A并且x∉B)或者(x∉A并且x∈B)}

文氏图

举例

• 集合{1,3,5}和集合{1,2,3}的对称差集是{2,5}；
• 若集合A是选修了音乐欣赏的学生，B是选修了西方文学的学生，则A⊕B是只选修了音乐欣赏和西方文学两门课中某一门课的学生。

并集和交集的扩展

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定义1

设A1,A2,…,An是任意n个集合，则这n个集合的并集是包含那些至少是这组集合中一个集合成员的元素的集合，即

∪i=1nAi=A1∪A2∪…∪An={x|x∈A1或者x∈A2…或者x∈An}

定义2

设A1,A2,…,An是任意n个集合，则这n个集合的交集是包含那些属于这组集合中所有集合成员的元素的集合，即

∩i=1nAi=A1∩A2∩…∩An={x|x∈A1并且x∈A2…并且x∈An}

举例

设A={0,2,4,6,8},B={0,1,2,3,4},C={0,3,6,9}，则

A∪B∪C={0,1,2,3,4,6,8,9}A∩B∩C={0}