算法书中的精华（连载中）

本人屯了几本算法书，打算尽快在大三结束之前汲取完。所以将其中一些有趣的地方记录下来吧，毕竟算法还是很有趣的，虽然学习的过程中常常伴随着痛苦

文章目录

• 《信息学奥赛一本通》
• 五种常见的递推关系

《信息学奥赛一本通》

五种常见的递推关系

1.Fibonacci数列

斐波那锲数列是形如这样的数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）

如比较著名的兔子问题和上台阶问题 都是斐波那锲数列的应用。想了解更多可以看这里。

2.Hanoi塔问题

问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图3-11所示。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：

(1)一次只能移一个圆盘；
　　(2)圆盘只能在三个柱上存放；
　　(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
　　问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？

解：设$h_n$hn​为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故$h_1$h1​=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c 柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故$h_2$h2​=3。以此类推，当a柱上有n个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动$h_n-1$hn​−1+1+$h_n-1$hn​−1个盘次。

∴$h_n=2h_n-1+1$hn​=2hn​−1+1 边界条件：$h_1=1$h1​=1

3.平面分割问题

问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解：设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。

从这些式子中可以看出$a_n-a_{n-1}=2(n-1)$an​−an−1​=2(n−1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成$a_n-1$an​−1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的$a_n-1$an​−1个区域，一共有$a_n-1+2(n-1)$an​−1+2(n−1)个区域。

所以本题的递推关系是$a_n=a_{n-1}+2(n-1)$an​=an−1​+2(n−1)，边界条件是$a_1=1$a1​=1

4.Catalan数

Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常出现在组合计数问题中。
问题的提出：在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用$h_n$hn​表示，$h_n$hn​即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案(图3-14)，故$h_5=5$h5​=5。求对于一个任意的凸n边形相应的$h_n$hn​。

Catalan数是比较复杂的递推关系，尤其在竞赛的时候，选手很难在较短的时间里建立起正确的递推关系。当然，Catalan数类的问题也可以用搜索的方法来完成，但是，搜索的方法与利用递推关系的方法比较起来，不仅效率低，编程复杂度也陡然提高。

5、第二类Stirling数

在五类典型的递推关系中，第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此，我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数

【定义2】 n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用$S(n,m)$S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。
下面就让我们根据定义来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。
解：设有n个不同的球，分别用$b_1,b_2,……b_n$b1​,b2​,……bn​表示。从中取出一个球$b_n$bn​，$b_n$bn​的放法有以下两种：
　　 ①$b_n$bn​独自占一个盒子；那么剩下的球只能放在m-1个盒子中，方案数为$S(n-1,m-1)$S(n−1,m−1)；
　　 ②$b_n$bn​与别的球共占一个盒子；那么可以事先将$b_1,b_2,……b_{n-1}$b1​,b2​,……bn−1​这n-1个球放入m个盒子中，然后再将球$b_n$bn​可以放入其中一个盒子中，方案数为$m\cdot S(n-1,m)$m⋅S(n−1,m)。
综合以上两种情况，可以得出第二类Stirling数定理：
　　　$S(n,m)=m\cdot S(n-1,m)+S(n-1,m-1) (n>1,m>=1)$S(n,m)=m⋅S(n−1,m)+S(n−1,m−1)(n>1,m>=1)
边界条件可以由定义2推导出：
　　　 $S(n,0)=0；S(n,1)=1；S(n,n)=1；S(n,k)=0(k>n)。$S(n,0)=0；S(n,1)=1；S(n,n)=1；S(n,k)=0(k>n)。
第二类Stirling数在竞赛中较少出现，但在竞赛中也有一些题目与其类似，甚至更为复杂。读者不妨自己来试着建立其中的递推关系。
小结：通过上面对五种典型的递推关系建立过程的探讨，可知对待递推类的题目，要具体情况具体分析，通过找到某状态与其前面状态的联系，建立相应的递推关系。