二维差分

二维差分

引入

差分都是基于前缀和的，一维差分的前缀和很简单，最需要处理区间两端。而二维的前缀和是$sum[i][j]=a[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]$sum[i][j]=a[i][j]+sum[i−1][j]+sum[i][j−1]−sum[i−1][j−1]，我们在$(x_1,y_1)$(x1​,y1​)处$+a$+a，影响了右边和下边的蓝色区域，需要$-a$−a，但两区域的重叠部分绿色被多减了一次，需要$+a$+a。

于是在$(x_1,y_1)$(x1​,y1​)到$(x_2,y_2)$(x2​,y2​)处$+a$+a，需要在$sum[x_1][y_1]+=a,sum[x_1][y_2+1]-=a,sum[x_2+1][y_1]-=a,sum[x_2+1][y_2+1]+=a$sum[x1​][y1​]+=a,sum[x1​][y2​+1]−=a,sum[x2​+1][y1​]−=a,sum[x2​+1][y2​+1]+=a