插入排序
对于少量元素的排序，插入排序是个有效的算法。其排序方法如同我们平时排序扑克牌一般，现在我们开始排序扑克牌，目前我们的左手为空，桌面上的牌堆全部牌面向下，然后我们拿起牌堆顶部的一张牌，由于此时手里没牌，所以不用比较，直接放到手里，再拿起牌堆顶部的牌，跟手中的牌进行比较，大的牌放后面，再拿起一张，跟手中的牌从右向左进行比较，遇到小的牌便插入到此牌的后面，循环此操作直到所有的牌都在手中。如下图：
插入排序的伪代码：
java实现：
public static void sort(int[] a) {
for (int i = 1; i < a.length; i++) {
int key = a[i];
int j = i - 1;
for (; j >= 0 && key < a[j]; j--) {
a[j + 1] = a[j];
}
a[j + 1] = key;
}
}
循环不变式与插入排序的正确性
循环不变式主要用来帮助我们理解算法的正确性。关于循环不变式，我们必须证明三条性质：
- 初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。
- 保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真。
- 终止：在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。
这有点类似于科学归纳法，证明某结论成立，需要证明一个基本情况和一个归纳步。分别对应第一、二条性质。
使用循环不变式来证明插入排序：
- 初始化：在第一次迭代之前，也就是当i=1时，子数组（a[0 … i]）此时为a[0]，只有一个元素，所以在第一次迭代之前子数组是有序的。
- 保持：在接下来的迭代之前，子数组已经是有序的，然后进行此次迭代，把key与子数组中的元素进行比较，如果子数组的元素比该key大，则子数组中的元素右移，直到找到key适合的位置，将其插入到该位置，此时子数组有序。那么下次迭代进行之前子数组也是有序的。
- 终止：当i=a.length时，循环终止。根据前面的性质，此时子数组是有序的，且此时子数组为a[0 … n-1]，也就是子数组等于整个数组，所以整个数组已排序，因此算法正确。
练习
答：略。
答：略
答：
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
if (a[i] == v) {
return i;
}
}
return NIL;
把已扫描过的数组元素称为b[]。
- 初始化：当第一次迭代之前，也就是i=0时，此时在b[]中没有元素，也就是此时v不在b[]中，此时结果为NIL;
- 保持：在接下的迭代之前，结果为NIL，然后进行此次迭代，如果该循环没有终止，说明v不在b[]中，那么结果依然为NIL，那么下次迭代之前，结果仍为NIL。
- 终止：当a[i]=v或者i=a.length时，循环终止。当a[i]=v时，那么已经查找到数组中等于v的元素，此时i为所查找元素的下标，算法正确；当i=a.length时，那么v没有在b[]中，此时b[]=a[]，所以v没有在数组中，结果为NIL，算法正确。
答：
输入：两个n位序列A、B，序列的每一个元素是n位二进制数对应的位。
输出：一个(n+1)位序列C，序列的每一个元素是这两个二进制数的和对应的位。
int[] c = new int[a.length + 1];
int carry = 0;
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
int result = a[i] + b[i] + carry;
c[i] = result % 2;
if (result >= 2) {
carry = 1;
} else {
carry = 0;
}
}
c[a.length] = carry;
return c;