高等数学：幂级数复习笔记

幂级数

一、函数项级数的概念

1. 概念

   由一个区间$I$I上的函数列：
   $u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),...,$u1​(x),u2​(x),u3​(x),...,un​(x),...,
   构成的表达式：
   $u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...$u1​(x)+u2​(x)+u3​(x)+...+un​(x)+...
   称为$I$I上的函数项无穷级数

2. 与常数项级数的关系

   当确定了$x=x_0，x_0∈I$x=x0​，x0​∈I，函数项级数成为常数项级数
   $u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+...——————（3-2）$u1​(x0​)+u2​(x0​)+u3​(x0​)+...+un​(x0​)+...——————（3−2）
   

   (3-2)收敛：$x_0$x0​称为函数级数的收敛点，

   收敛点的全体：收敛域

   (3-2)发散：$x_0$x0​称为函数级数的发散点

3. 函数项级数的和函数

   对于收敛域内的任意一个x,函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一个确定的和s

   和函数：$s(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...$s(x)=u1​(x)+u2​(x)+u3​(x)+...+un​(x)+...,

   把前n项的部分和记做$s_n(x)$sn​(x),则在收敛域上有
   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_n(x)=s(x)$n→∞lim​sn​(x)=s(x)

4. 函数项级数的余项

   前提：在收敛域上存在余项
   $r_n(x)=s(x)-s_n(x)\\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_n(x)=0$rn​(x)=s(x)−sn​(x)n→∞lim​rn​(x)=0

二、幂级数及其收敛性

1. 幂级数的形式

   $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n+...$n=0∑∞​an​xn=a0​+a1​(x−x0​)+a2​(x−x0​)2+...+an​(x−x0​)n+...

   其中$a_0,a_1...a_n$a0​,a1​...an​为幂级数的系数

2. 阿尔贝定理及其推论

   定理：如果级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$n=0∑∞​an​xn当$x=x_0$x=x0​时收敛，那么适合不等式$|x|<|x_0|$∣x∣<∣x0​∣的一切x的级数绝对收敛

   ​ 如果在$x=x_0$x=x0​时发散，那么适合不等式的$|x|>|x_0|$∣x∣>∣x0​∣的一切x使幂级数发散

   推论：如果级数不是在R上收敛，也不是仅仅在x=0处收敛，那么一定存在一个确定的正整数R

   ①当$|x|<R$∣x∣<R时，幂级数绝对收敛

   ②当$|x|>R$∣x∣>R时，幂级数发散

   ③当$|x|=R$∣x∣=R时，幂级数可能收敛也可能发散

   第三点说明：在求级数的收敛域时，收敛半径处，即两个端点的值需要额外判断

3. 收敛半径的求法

   ①一般情况：有定理

   如果
   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$n→∞lim​∣an​an+1​​∣=ρ
   则收敛半径：
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   ②如果缺项，比如缺少奇数项，或者缺少偶数项

   则直接使用比值审敛法

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\rho(x)$n→∞lim​∣un​(x)un+1​(x)​∣=ρ(x)

​

4. 收敛域的求法

   在求出收敛半径后，判断端点处，即$|x|=R$∣x∣=R处的敛散性，最终确定收敛域

三、幂级数的运算

1. 加减乘除运算

   加减：$R=min\{R_1,R_2\}$R=min{R1​,R2​}

2. 逐项可积分

   $\int_0^xs(t)dt=\int_0^x[\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n]dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^ndt$∫0x​s(t)dt=∫0x​[n=0∑∞​an​tn]dt=n=0∑∞​∫0x​an​tndt

3. 逐项求导

$s'(x)=[\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n]'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_nt^n)'=\sum\limits_{n=0}^{\infty}[na_nt^{n-1}]$s′(x)=[n=0∑∞​an​tn]′=n=0∑∞​(an​tn)′=n=0∑∞​[nan​tn−1]

4. 求和函数的步骤：

   ①求收敛半径

   ②求收敛域

   ③利用逐项求导或者逐项积分求和函数的值

   ④判断端点的函数值

四、函数展开成幂级数

1. 泰勒级数

   ①一般项系数：$a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)$an​=n!1​f(n)(x0​)

   ②在$x_0$x0​处的泰勒展开式
   $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x∈U(x_0)$f(x)=n=0∑∞​n!1​f(n)(x0​)(x−x0​)n,x∈U(x0​)
   ③$f(x)$f(x)能展开成泰勒级数的充要条件

   a.$f(x)$f(x)在$x_0$x0​的某个邻域中具有各阶导数。-------------------------这样还不够，不一定收敛于$f(x)$f(x)

   b.$f(x)$f(x)的泰勒展开式中的余项$R_n(x)$Rn​(x)当$n\rightarrow\infty$n→∞时的极限为零即
   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0,x∈U(x_0)$n→∞lim​Rn​(x)=0,x∈U(x0​)
   ④泰勒级数
   $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{n}(x_0)(x-x_0)^n+...$f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!1​f′′(x0​)(x−x0​)2+...+n!1​fn(x0​)(x−x0​)n+...

2. 麦克劳林级数

   a.麦克劳林级数
   $f(0)+f'(0)(x)+\frac{1}{2!}f''(0)x^2+...+\frac{1}{n!}f^{n}(0)x^n+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{n}(0)x^n$f(0)+f′(0)(x)+2!1​f′′(0)x2+...+n!1​fn(0)xn+...=n=0∑∞​n!1​fn(0)xn
   b.麦克劳林展开式

   若级数能在收敛域(-r,r)内展开，那么有
   $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)},(|x|<r)$f(x)=n=0∑∞​n!1​f(n),(∣x∣<r)
   上式称为麦克劳林展开式

3. 直接法求在$x_0$x0​点展开为幂级数的步骤

   ①求出$f'(x_0),f''(x_0),f'''(x_0),...,f^{(n)}(x_0)$f′(x0​),f′′(x0​),f′′′(x0​),...,f(n)(x0​)

   ②写出幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n}$n=0∑∞​n!1​f(n)(x0​)(x−x0​)n，并求收敛半径R

   ③判别余项$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}R_n(x)=0,x∈U(x_0)$n→∞lim​Rn​(x)=0,x∈U(x0​)是否成立，即是否能够被展开。

4. 常用的幂级数的展开式：方便计算其他的幂级数，由于直接展开法计算量过大

   ①$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$1+x1​=n=0∑∞​(−1)nxn

   ②$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n$1−x1​=n=0∑∞​xn

   ③$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},x∈(-\infty,+\infty)$ex=n=0∑∞​n!xn​,x∈(−∞,+∞)

   ④$sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},x∈(-\infty,+\infty)$sinx=n=0∑∞​(2n+1)!(−1)n​x2n+1,x∈(−∞,+∞)

5. 间接法求幂级数的展开式

   ①逐步积分

   ②逐步求导

   例：将函数$f(x)=cosx$f(x)=cosx展开为$x$x的幂级数
   $cosx=sin'x=(\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})'\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$cosx=sin′x=(n=0∑∞​(−1)n(2n+1)!x2n+1​)′=n=0∑∞​(−1)n(2n)!x2n​

   ③带入转换

   例：将函数$f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}$f(x)=x2+4x+31​展开为$(x-1)$(x−1)的幂级数
   $f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}=\frac{1}{(x+3)(x+1)}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}\\ =\frac{1}{4(1+\frac{x-1}{2})}+\frac{1}{8(1+\frac{x-1}{4})}\\ =\frac{1}{4}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n[{\frac{x-1}{2}]}^n+\frac{1}{8}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n[{\frac{x-1}{4}]}^n\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{2n+3}})(x-1)^n$f(x)=x2+4x+31​=(x+3)(x+1)1​=2(x+1)1​−2(x+3)1​=4(1+2x−1​)1​+8(1+4x−1​)1​=41​n=0∑∞​(−1)n[2x−1​]n+81​n=0∑∞​(−1)n[4x−1​]n=n=0∑∞​(−1)n(2n+21​−22n+31​)(x−1)n