机器人动力学（雅克比）

基础知识

速度矢量，角速度矢量，叉乘运算

速度是描述质点运动快慢和方向的物理量，等于位移对时间的微分。同时也等于加速度对时间的积分。
角速度：定义：一个以弧度为单位的圆（一个圆周为2π,即：360度=2π),在单位时间内所走的弧度即为角速度，ω=dφ/dt
角速度的方向垂直于转动平面，可通过右手螺旋定则来确定。
线速度=角速度叉乘半径( $v=w\times r$ )（由圆心向外指）根据叉乘的右手法则来规定角速度的方向
叉乘： 机器人动力学（雅克比）

刚体的线速度和角速度

线速度

把坐标系{B} 固连在一刚体上，要求描述相对于坐标系{A} 的运动 $^{B}\textrm{Q}$ 这里已经认为坐标系{A} 是固定的。
坐标系{B} 相对于坐标系{A} 的位置用位置矢量 $^{A}\textrm{P}_{BORG}$ 和旋转矩阵 $_{B}^{A}\textrm{R}$ 来描述。此时，假定方位 $_{B}^{A}\textrm{R}$ 不随时间变化，则Q点相对坐标系{A} 的运动是由于 $^{A}\textrm{P}_{BORG}$ 或 $^{B}\textrm{Q}$ 随时间的变化引起的。
求解坐标系{A} 中Q 点的线速度是非常简单的。只要写出坐标系{A} 中的两个速度分量，求其和为： $^{A}\textrm{V}_Q=^{A}\textrm{V}_{BORG}+_{B}^{A}\textrm{R} ^{B}\textrm{V}_Q$ (1)
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(1)只适用千坐标系{B}和坐标系{A} 的相对方位保持不变的情况!

角速度

如图1两坐标系原点重合且相对线速度为零，固定在坐标系{B}上的矢量 $^{B}\textrm{Q}$
以角速度 $^{A}\Omega_B$ 相对于坐标系{A}旋转。那么从{A}看固定在{B}中的矢量随时间变化，可以根据下图分析：机器人动力学（雅克比）
从坐标系{B}看矢量Q是不变的： $^{B}\textrm{V}_Q=0$
从坐标系{A}中看点Q的速度为旋转角速度 $^{A}\Omega_B$
下图显示了矢量Q绕 $^{A}\Omega_B$ 的旋转，是从坐标系{A}中观测到的

可以由图2-3得知：
1、 $^{A}\textrm{Q}$ 的微分增量一定垂直于 $^{A}\Omega_B$ 和 $^{A}\textrm{Q}$
2、微分增量的大小为： $|\Delta Q|=(^{A}\textrm{Q}sin\theta)(|^{A}\Omega_B| \Delta t)$
又饿了大小和方向，就可以得到矢量积，根据角速度矢量公式有 $^{A}\textrm{V}_{Q}=^{A}\Omega_B\times^{A}\textrm{Q}$
但是一般情况下Q是相对于坐标系{B}变化的，加上一个分量，可有：
$^{A}\textrm{V}_Q=_{B}^{A}R^BV_Q+^{A}\Omega_B\times_B^AR^BQ$
紧接着将以上线速度与角速度扩展为坐标系原点不重合的情况，最终可以推导出从坐标系{A}观测坐标系{B}中固定速度矢量的最终普遍表达式：

$^{A}\textrm{V}_Q=^AV_{BORG}+_{B}^{A}R^BV_Q+^{A}\Omega_B\times_B^AR^BQ$

连杆间的速度传递

连杆间速度的传递就如同位姿变换一般，可以通过连杆间的推导从基座的速度逐步推导到末端速度
角速度
当两个 $\omega$ 矢量都是相对于同一个坐标系时，那么这些角速度能够相加。因此，连杆i+l 的角速度就等于连杆i的角速度加上一个由于关节i+ 1 的角速度引起的分量。参照坐标系{i}, 可写成：（实在懒得打公式，直接截图了）机器人动力学（雅克比）
其中

注意：只有当所有速度矢量都变换到相对于通一个坐标系表述时，两个速度矢量才可以相加！
可以带到得到连杆i+1角速度相对于坐标系{i+1}的表达式
线速度
坐标系{i+ 1} 原点的线速度等于坐标系{i} 原点的线速度加上一个由于连杆i的角速度引起的新的分量。因此有：
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要得到连杆3的速度相对于固定坐标系表达式，用旋转矩阵 $^0_3R$ 对其作旋转变换即可

雅克比

雅克比矩阵是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式，事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式
在这里表示的是速度的映射，是一个时变线性映射 $\dot{Y}=J(X)\dot{X}$
在机器人学中，通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡儿速度联系起来：
$^0v=^0J(\Theta)\dot{\Theta}$
其中 $\Theta$ 为操作部关节角矢量， $v$ 是笛卡尔速度矢量，对于6关节机器人，雅克比矩阵是6x6阶矩阵， $\Theta$ 是6x1维额， $^0v$ 也是6x1维，由一个3x1维线速度矢量和一个3x1维角速度矢量组合起来的
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根据
可以得到雅克比矩阵：

力域中的雅克比

在多维空间中，功是一个力或者力矩矢量与位移矢量的点积，利用虚功原理可知：
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由上式可知，雅克比的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效关节力矩，当得到相对于坐标系{0}的雅克比矩阵后，可有对坐标系{0}中的力矢量进行变换：
当雅克比矩阵不满秩时，同位置域中的奇异性相同，存在某些特定的方向，末端执行器在这些方向上不能施加期望静态力，在奇异位置，末端笛卡尔施加的力在某些方向上增大或者减小，与所求的关节空间驱动力的值无关