线性代数的本质（五）——逆矩阵、列空间与零空间

我们知道，线性方程组可以改写成矩阵向量乘法的形式。

矩阵 $A$A 代表一个线性变换，求解 $A\vec{x} = \vec{v}$Ax=v 意味着我们去寻找一个向量 $\vec{x}$x，使它在变换后与 $\vec{v}$v 重合，我们看一个在二维空间中的例子，$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ -1 \end{bmatrix}$[21​23​][xy​]=[−4−1​]。

在二位向量空间中，线性变换 $A$A 会有两种情况，一种是 $A$A 保持空间为二维，一种是 $A$A 将空间压缩为更低的维度，以上一节行列式中的内容来说，就是 $\det(A) = 0$det(A)=0 与 $\det(A) \neq 0$det(A)̸​=0 的区别。

我们先来看看一般情况，即 $\det(A) \neq 0$det(A)̸​=0。在这种情况下，有且仅有一个向量 $\vec{x}$x 在经过变换 $A$A 后与 $\vec{v}$v 重合。我们可以通过逆向变换来找到这个向量 $\vec{x}$x，这里的逆向变换就是所谓的逆变换。我们用 $A^{-1}$A−1 来表示。$A$A 与 $A^{-1}$A−1 复合会得到一个什么也不做的矩阵，也就是单位矩阵（由基向量组成的矩阵）。

这个也同样适用于更高维的空间，只要变换的行列式不为零，那就一定有一个唯一的 $\vec{x}$x，使得 $\vec{v}$v 做逆变换后与 $\vec{x}$x 重合。

现在考虑第二种情况，就是变换 $A$A 将空间压缩到更低的维度，即 $\det(A) = 0$det(A)=0，这种情况下，$A$A 不存在逆变换，因为你不能将一条直线“解压缩为一个平面“。

不过即使 $\det(A) = 0$det(A)=0，解也有可能存在，如果 $\vec{v}$v 刚好在压缩后的直线上。

在前面我们使用行列式等不等于零来判断向量空间是否被压缩，那怎么描述这个压缩的程度呢，我们引入一个新的术语——秩。如果一个变换将空间压缩成一个直线，那么这个变换的秩为1，如果变换后的向量落在二维空间中，那么这个变换的秩为2。所以秩指的的是变换后空间的维数，比如 $2 \times 2$2×2 矩阵最大的秩是2，$3 \times 3$3×3 矩阵最大的秩是3，一个变换的列所张成的空间就是这个变换的列空间，也就是向量空间，所以秩更精确的定义是列空间的维数。当秩为最大值时，即秩等于矩阵的列数，我们称这个矩阵满秩。

对于一个满秩的矩阵来说，唯一一个能在变换后落在原点的只有零向量，但是对于非满秩的矩阵，由于空间被压缩了，可能会有一系列的向量在变换后变成零向量。

三维空间被压缩到二维平面，也有一整条直线上的向量被压缩到原点上。

三维空间被压缩到直线，那会有一整个平面上的向量被压缩到原点上。

在上面提到的，在变换后落在原点的向量集合，被称为矩阵的“零空间”或“核”。回到一开始讲到的问题，在 $\det(A) = 0$det(A)=0 的情况下，只有当 $\vec{v}$v 为零向量时，线性方程组才有解，而这里提到的“零空间”就是这个线性方程组的解集。