小波变换主篇(4)Wavelet Transforms in Two Dimensions

之前我们理解了一维的小波变换，现在我们将其扩展到二维的小波变换，在二维的小波变换里面，基函数变化为：

φ(x,y)=φ(x)φ(y)(168)$$\begin{array}{}\text{(168)}& \phi (x,y)=\phi (x)\phi (y)\end{array}$$

小波函数变为：

ψH(x,y)=ψ(x)φ(y)ψV(x,y)=φ(x)ψ(y)ψD(x,y)=ψ(x)ψ(y)(169)$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(169)}& {\psi }^H(x,y)=\psi (x)\phi (y) \\ {\psi }^V(x,y)=\phi (x)\psi (y) \\ {\psi }^D(x,y)=\psi (x)\psi (y) \\ \end{array} \end{gathered}$$

由上可知基函数仍为一个函数但是小波函数扩展为三个函数，之后会说明为何是三个。

其中

φj,m,n(x,y)=2j/2φ(2jx−m,2jy−n)(170)$$\begin{array}{}\text{(170)}& {\phi }_{j,m,n}(x,y)=2^{j/2}\phi (2^{j}x-m,2^{j}y-n)\end{array}$$

ψij,m,n(x,y)=2j/2ψi(2jx−m,2jy−n),i={H,V,D}(185)$$\begin{array}{}\text{(185)}& {\psi }_{j,m,n}^i(x,y)=2^{j/2}{\psi }^i(2^{j}x-m,2^{j}y-n),i=\{H,V,D\}\end{array}$$

系数计算公式如下：

Wφ(j0,m,n)=1MN−−−−√∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)φj0,m,n(x,y)Wiψ(j0,m,n)=1MN−−−−√∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)ψij,m,n(x,y),i={H,V,D}(1042)$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(1042)}& W_{\phi }(j0,m,n)=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y){\phi }_{j_0,m,n}(x,y) \\ {W}_{\psi }^i(j0,m,n)=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y){\psi }_{j,m,n}^i(x,y),i=\{H,V,D\}\end{array} \end{gathered}$$

小波计算的分解公式为：

f(x,y)=1MN∑m∑nWφ(j0,m,n)φj0,m,n(x,y)+1MN∑i=H,V,D∑j=j0∞∑m∑nWiψ(j,m,n)ψij,m,n(x,y)(1043)$$\begin{array}{}\text{(1043)}& f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _m\sum _{n}W\phi (j_0,m,n){\phi }_{j_0,m,n}(x,y)+\frac{1}{MN}\sum _{i=H,V,D}\sum _{j=j_0}^{\mathrm{\infty }}\sum _m\sum _n{W}_{\psi }^i(j,m,n){\psi }_{j,m,n}^i(x,y)\end{array}$$

上面就是涉及到二维小波变换的所有公式。
接下来以图解的方法来说明二维小波变换的快速求解方式。

二维的快速变换实际是将二维按照行列拆分为两个一维快速变换进行处理的，首先对图像（图像为例）的行进行一维小波变换，这时图像的行被拆分为高频和低频部分，接着对图像的列进行小波变换，将列也拆分为高频和低频部分，然后二维图像被拆解为四个部分，分别对应于，行低频列低频，行低列高，行高列低，行高列高四个部分。
而二维小波的复原只是将上图倒过来进行处理而已：

那么上述四个图像的物理意义是什么呢？
1.行低列低对应图像的低频信号，相当于是原图像的低通滤波处理。
2.行高列高对应图像的高频信号，相当于图像的高通滤波出来。
3.行高列低相当于对图像的行进行高通滤波，列低通滤波，这时图像显示的主要为行边缘。
3.行低列高，则是列边缘。
如下图：

那么小波变换能用来干嘛呢？
如果我们想要凸显图像的横向边缘，那么我们就可以将行低列高的图像设置阈值，然后再将其利用小波逆变换变回原图，这时原图的竖直边缘将降低，横向边缘将提高。