【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载29】

在上一个连载里面，我们讨论了平面波的极化，掌握了如何判断极化方式。那么在今天的连载里面，我们将继续探讨与均匀平面波相关的有趣性质，但是之后的几个连载里面我们重点关注的，则是平面波的各种入射。我们先从垂直入射这种简单情况入手，再慢慢深入到斜入射。而今天的连载则是推导一下平面波的反射定律和折射定律

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在让平面波开始自由发射之前，说明一下我们下面针对的都是时谐变电磁波了，那么先回顾一下时谐变电磁波波动方程解的形式（或者说构成时谐变电磁波的电场、磁场所应该满足的形式）：
【注：我们假设电磁波传播方向是 +z 方向，电场 x 方向、磁场 y 方向】

那么在媒质1中，电场的解应该是：

媒质1中磁场的解应该是：

这是上上个连载的内容，有点忘了没关系，我们现在可以只关系电场解的形式：它由入射电场和反射电场构成（入射电场用下标 i ，反射电场用下标 r）。而且入射电场的有效值矢量由：单位方向矢量 $\bar{a_x}$ax​ˉ​、复有效值 $\dot{E_i}$Ei​˙​和一个指数项 $e^{-γ_1z}$e−γ1​z 构成。我们知道这个暂时就够了。

【值得注意的是：讨论有效值矢量和复振幅矢量在某些情况下基本上是等价的，因为他们仅仅相差了一个系数 $\sqrt{2}$2​】

下面正式开始。

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对于下面这样的入射情况：

黄色区域下半部分的表示入射波，黄色区域上半部分的表示反射波、蓝色区域的部分表示折射波。

那么，我们根据刚刚的知识可以把入射电场的有效值矢量给写出来：

同理，反射电场也可以写出来（不过此时因为反射波的传播方向是 -z 方向，所以指数项会变为$e^{γ_1z}$eγ1​z）：

好的，上面描述的都是介质1的电场，那么根据时谐变电磁场的关系：

（其中，$\bar{a_n}$an​ˉ​ 是电磁波的传播方向的单位矢量）那么我们也可以计算出来媒质1中的入射磁场的表达式：

以及介质1中的反射磁场：

那么，把介质1中的电场加起来，我们就可以得到介质1中的合电场：

同样可以得到介质1中的合磁场：

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而我们知道，在媒质2里面只有折射电磁场，折射场我们用下标 t 表示。那么在媒质2中的折射电场为：

因为我们看上面的图也知道，对于折射电磁波而言，电磁波的传播方向依然是 +z ，所以我们的指数项和入射的相比没有变化。只是把媒质1的传播系数 $γ_1$γ1​ 换成了 $γ_2$γ2​罢了

同理我们求出媒质2中的折射磁场：

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下面我们运用一下边界条件：很明显我们可以看到 z = 0 就是我们的边界。 如果我们假设现在的媒质1， 2均为非理想导体，那么在分界面上是不存在面电流的（即 $J_s = 0$Js​=0）

先看看磁场的边界方程，这个分界面 z=0 平面，磁场沿着 y 方向，恰好是分界面的切向方向，那么运用磁场切向方向的边界方程：$H_{1t} = H_{2t}$H1t​=H2t​

把z=0带进去就可以化简成：

把方向约掉就是：

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搞了磁场的边界方程，电场的你也总得搞搞吧，我们发现电场的方向也是分界面的切向方向，那么也是利用电场在分界面切向方向的边界方程：$E_{1t} = E_{2t}$E1t​=E2t​，得：

把 z = 0 带入，得：

把方向消去，得：

联立下面两个方程组，可得：

我们就可以把发射系数 R 和折射系数T 给求出来：
【注：反射系数的定义是边界上反射波电场和入射波电场之比、折射系数是边界上折射电场和入射电场之比】

同时，我们还注意到：1+R = T

我们可以看到，不同媒质的波阻抗η不一样，就会导致求出来的 R, T不同，因此我们可以说：媒质的电磁参数决定分界面上的反射系数和折射系数，因此影响媒质中合成波的传播特性。

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好啦！这就是本次连载的全部内容啦，今天我们推导了平面波的反射定理和折射定理，下面一个连载，我们就来看看平面波从理想介质入射到理想导体是个什么情况。