思考题 7-1 Hoare划分的正确性

（Hoare划分的正确性）本章中的PARTITION算法并不是其最初的版本。下面给出的是最早由C. R. Hoare所设计的划分算法：
　　
　　a. 试说明HOARE-PARTITION在数组A = {13, 19, 9, 5, 12, 8, 7, 4, 11, 2, 6, 21}上的操作过程，并说明在每一次执行第4~14行while循环时数组元素的值和辅助变量的值。
　　后续的三个问题要求读者仔细论证HOARE-PARTITION的正确性。在这里假设子数组$A[p..r]$A[p..r]至少包含2个元素，试证明下列问题：
　　b. 下标$i$i和$j$j可以使我们不会访问在子数组$A[p..r]$A[p..r]以外的数组$A$A的元素。
　　c. 当HOARE-PARTITION结束时，它返回的值$j$j满足$p ≤ j &lt; r$p≤j<r。
　　d. 当HOARE-PARTITION结束时，$A[p..j]$A[p..j]中的每一个元素都小于或等于$A[j+1..r]$A[j+1..r]中的元素。
　　在7.1节的PARTITION过程中，主元（原来存储在$A[r]$A[r]中）是与它所划分的两个分区分离的。与之对应，在HOARE-PARTITION中，主元（原来存储在$A[p]$A[p]中）是存在于分区$A[p..j]$A[p..j]或$A[j+1..r]$A[j+1..r]中的。因为有$p ≤ j &lt; r$p≤j<r，所以这一划分总是非平凡的。
　　e. 利用HOARE-PARTITION，重写QUICKSORT算法。
　　
　　解
　　a.
　　
　　
　　b.
　　虽然下标$i$i和$j$j分别被初始化为$p-1$p−1和$r+1$r+1，但是在第一轮while迭代中，$i$i会被先加1，而$j$j会被先减1，这样下标$i$i和$j$j分别从$p$p和$r$r开始。所以在迭代开始，下标$i$i和$j$j没有超出数组范围。
　　由于以首个元素作为划分主元，所以在第一轮while迭代中，$i$i会停留在$p$p，而$j$j会一直向左移动，直到遇到一个小于或等于$x$x的元素。下面分两种情况说明：
　　1) 如果$j$j在向左移动的过程中一直没有遇到小于或等于$x$x的元素，那么$j$j会一直向左移动直到$j = p$j=p为止，因为$A[p] = x$A[p]=x满足$j$j的停止条件。此时，由于$i$i一直停留在$p$p的位置，所以$i = j$i=j，故while迭代退出。在这个过程中，$i$i和$j$j都没有超出数组$A[p..r]$A[p..r]的范围。
　　2) 如果$j$j遇到了一个小于或等于$x$x的元素 (该元素不为$A[p]$A[p])，那么$A[j]$A[j]与$A[i]$A[i] ($A[i]$A[i]即$A[p]$A[p]) 交换。这说明在下标$j$j的左侧至少有一个小于或等于$x$x的元素，并且在下标$i$i的右侧至少有一个大于或等于$x$x的元素，这可保证$i$i和$j$j在移动过程中不会超出数组范围。
　　
　　c.
　　在第一轮while迭代中，下标$i$i一定会停留在$p$p，而下标$j$j分2种情况：
　　1) 如果$j$j在$r$r位置停留下来了，此时有$i &lt; j$i<j (因为已经假设数组元素不少于2个)，那么交换$A[i]$A[i]和$A[j]$A[j]，继续进行第二轮while迭代。在第二轮while迭代中，$j$j一定至少向左移动一个位置，故一定有$j &lt; r$j<r。
　　2) 如果$j$j没有在$r$r位置停留，而是继续向左移动，此时也有$j &lt; r$j<r。
　　再根据b的结论，$j$j不会超出数组范围，故$j ≥ p$j≥p。所以$j$j一定满足$p ≤ j &lt; r$p≤j<r。
　　
　　d.
　　先给出循环不变式：在每轮while迭代开始之前，$A[p .. i]$A[p..i]中的元素都小于或等于$x$x，并且$A[j .. r]$A[j..r]中的元素都大于或等于$x$x。这个循环不变式应该不难证明，这里省略证明过程。
　　下面分析while迭代的终结时的情况。在while迭代中，代码第5 ~ 7行的repeat迭代和第8~10行的repeat迭代结束时，必然有$A[p..i-1]$A[p..i−1]中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$A[j+1..r]中的元素。在最后一次while迭代中，repeat迭代结束后，必然有$i = j$i=j或$i = j+1$i=j+1。如果$i = j$i=j，那么必然有$A[i] = x$A[i]=x，由于$A[p..i-1]$A[p..i−1]中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$A[j+1..r]中的元素，将$A[i]$A[i]加入$A[p..i-1]$A[p..i−1]，于是有$A[p..i]$A[p..i] (即$A[p..j]$A[p..j]) 中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$A[j+1..r]中的元素。如果$i = j+1$i=j+1，那么$j = i-1$j=i−1，于是有$A[p..j]$A[p..j]中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$A[j+1..r]中的元素。
　　
　　e.
　　

代码链接：https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter07/Problem_7-1