学习 3D数学基础 (向量)

向量

记法

列向量

行向量

维度

v = (1,2)
v = (1,2,3)
v = (1,2,3,4)

向量的大小

几何解释

向量运算

向量和标量相乘除

几何解释

向量相加减

几何解释 (三角形法则)

向量加法满足交换率减法不满足交换率(a+b = b+a , c-d != d-c)

标准化向量

向量点成

几何解释

推导过程

假设a=(ax,ay)$a=(ax,ay)$和b=(bx,by)$b=(bx,by)$都是二维向量，θ1是a与x轴的夹角，θ2是b与x轴的夹角，向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2。
a•b=axbx+ayby$a•b=axbx+ayby$
=(|a|cosθ1|b|cosθ2)+(|a|sinθ1|b|sinθ2)$=(|a|cos\theta 1|b|cos\theta 2)+(|a|sin\theta 1|b|sin\theta 2)$
=|a||b|(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)$=|a||b|(cos\theta 1cos\theta 2+sin\theta 1sin\theta 2)$
=|a||b|(cos(θ1−θ2))$=|a||b|(cos(\theta 1-\theta 2))$
=|a||b|cosθ$=|a||b|cos\theta$

向量投影

VⅡ=|VⅡ|n|n|$VⅡ=|VⅡ|\frac{n}{|n|}$(n|n|$\frac{n}{|n|}$表示向量的方向)
|VⅡ|=|V|cosθ$|VⅡ|=|V|cos\theta$
∵ V•n=|V||n|cosθ$V•n=|V||n|cos\theta$
∴ cosθ=V•n|V||n|$cos\theta =\frac{V•n}{|V||n|}$
∴ VⅡ=nVn|n|2$VⅡ=n\frac{Vn}{|n{|}^2}$
∴ V⊥=V−VⅡ$V\perp =V-VⅡ$
∴ V⊥=V−nVn|n|2$V\perp =V-n\frac{Vn}{|n{|}^2}$

向量叉乘（a×b）

推导过程

假设 i, j, k 为基向量
a=(u1i,u2j,u3k)$a=(u1i,u2j,u3k)$
b=(v1i,v2j,v3k)$b=(v1i,v2j,v3k)$
a×b=(u1i+u2j+u3k)×(v1i+v2j+v3k)$a\times b=(u1i+u2j+u3k)\times (v1i+v2j+v3k)$
=u1v1(i×i)+u1v2(i×j)+u1v3(i×k)+u2v1(j×i)+u2v2(j×j)+u2v3(j×k)+u3v1(k×i)+u3v2(k×j)+u3v3(k×k)$=u1v1(i\times i)+u1v2(i\times j)+u1v3(i\times k)+u2v1(j\times i)+u2v2(j\times j)+u2v3(j\times k)+u3v1(k\times i)+u3v2(k\times j)+u3v3(k\times k)$
∵ i,j,k为基向量$i,j,k为基向量$
∴ i×i=j×j=k×k=0$i\times i=j\times j=k\times k=0$
∴ i×j=k$i\times j=k$
∴ j×k=i$j\times k=i$
∴ k×i=j$k\times i=j$
∴ j×i=−k$j\times i=-k$
∴ k×j=−i$k\times j=-i$
∴ i×k=−j$i\times k=-j$
∴ a×b=(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k$a\times b=(u2v3-u3v2)i+(u3v1-u1v3)j+(u1v2-u2v1)k$

几何解释

|a×b|=|a||b|sinθ$|a\times b|=|a||b|sin\theta$