从傅立叶级数到傅立叶变换

写作时间：2019-10-31

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傅立叶级数
傅立叶变换

写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。

傅立叶级数

学过高数的童鞋都听过傅立叶级数，下面直接给出定义，具体证明可以参考高等数学教材。

设周期为 $T$ 的周期函数 $f(x)$ 的傅立叶级数为

$f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{2\pi n x}{T}+b_{n} \sin \frac{2\pi n x}{T}\right) \tag{1}$

其中，系数 $a_n$ 和 $b_n$ 分别为：

$\left.\begin{array}{ll}{a_{n}=\frac{2}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=0,1,2, \cdots)} \\ {b_{n}=\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=1,2,3, \cdots)}\end{array}\right\} \tag{2}$

利用欧拉公式 $\cos t=\frac{\mathrm{e}^{t \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-t i}}{2}, \quad \sin t=\frac{\mathrm{e}^{t i}-\mathrm{e}^{-t i}}{2 \mathrm{i}}$

可以将公式（1）转化为傅立叶级数的复数形式

$f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \tag{3}$

系数 $c_n$ 为

$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \mathrm{e}^{-\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \tag{4}$

傅立叶级数的两种形式本质上是一样的，但是复数形式比较简洁，而且只用一个算式计算系数。

傅立叶变换

傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。

傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓，即让周期趋紧于无穷，然后就得到了傅立叶变换，如下图所示。
从傅立叶级数到傅立叶变换

图片来源：Fourier Transform 101 — Part 3: Fourier Transform

下面我们看一下，当周期 $T$ 趋于 $\infty$ 的时候，我们看一下公式（3）和（4）的变化。

令 $\frac{1}{T} = \Delta \omega$ ，则

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当 $T \to \infty$ 时， $\Delta \omega \to 0$ ， $\Delta \omega \to \mathrm{d}\omega$ ， $\mathrm{d}\omega$ 和 $n \mathrm{d}\omega$ 都成为连续的变量，记为 $\omega$ 。

KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \lim_{T…

对应于傅立叶级数，傅立叶变换可以表示为

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi\omega x \mathrm{i}} \mathrm{d}x \tag{5}$

而相应地傅立叶逆变换可以表示为

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{2\pi\omega x \mathrm{i}}\mathrm{d}\omega \tag{6}$