矩阵可逆的一种刻画方式

问题

若矩阵A满足$A+A^{\rm{T}}=I$A+AT=I，则A可逆。

证明一

反证法。假设A不可逆，则
$\exists{x_0}\ne0$∃x0​​=0，使得$A{x_0}=0$Ax0​=0，则
${x_0}{A^{\rm{T}}} = {(A{x_0})^{\rm{T}}} = {0^{\rm{T}}}$x0​AT=(Ax0​)T=0T

$\therefore 0 \ne x_0^{\rm{T}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}(A + {A^{\rm{T}}}){x_0} = x_0^{\rm{T}}A{x_0} + x_0^{\rm{T}}{A^{\rm{T}}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}0 + {0^{\rm{T}}}{x_0} = 0$∴0​=x0T​x0​=x0T​(A+AT)x0​=x0T​Ax0​+x0T​ATx0​=x0T​0+0Tx0​=0

矛盾，所以A可逆。

证明二