学习 3D数学基础 (矩阵2)

矩阵的行列式

线性运算法则

方阵M的行列式记作|M|或‘‘detM’’，nxn阶矩阵的行列式定义非常复杂。

2x2矩阵行列式

3x3阶矩阵的行列式

如果将3x3阶矩阵的行解释为3个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓‘‘三元组积’’

矩阵余子式

假设矩阵M有r行，c列，余子式就是M中去除i行，j列后剩下的矩阵

矩阵的代数余子式

用C_ij表示M的第i行，第j列元素的代数余子式，余子式是一个矩阵，代数余子式的一个标量，代数余子式有如下效果

几何解释

在2D中行列式等于以基向量为2边的平行四边形的有符号面积，3D为有符号体积

矩阵的逆

方阵M的逆，记为M^-1，当M和M^-1相乘时，结果为单位矩阵。

M(M−1)=I$M(M^{-1})=I$

并非所有的矩阵都有逆，如果一个矩阵有逆矩阵那么称它为可逆的或非奇异的反之称之为不可逆或奇异的。

奇异矩阵的行列式为零，非奇异不为零

M的‘‘标准伴随矩阵’’记作‘‘adjM’’，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵

一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆

M−1=adjM|M|$M^{-1}=\frac{adjM}{|M|}$

几何解释

如果矩阵可逆则可以通过乘以矩阵的逆来撤销变换

正交矩阵

如果方阵M是正交的则：

MMT=I$M{M}^T=I$(I为单位矩阵)

因为 MM−1=I$M{M}^{-1}=I$

所以如果一个矩阵是正交的，那么它的逆的等于它的转置 MT=M−1$M^T=M^{-1}$

几何解释

矩阵正交化

4x4齐次矩阵

4D点形如（x,y,z,w）
3D点被认为是在4D中w=1的平面上

4x4平移矩阵

任意3x3变换矩阵在4D中表示为：

4D中任可以用矩阵乘法表达平移

R为旋转矩阵，T为平移矩阵

M=RT$M=RT$
v′=vRT$v^{\prime }=vRT$
v′=v(RT)$v^{\prime }=v(RT)$
v′=vM$v^{\prime }=vM$