视频DCT变换与量化

一、变换域编码——整数DCT

$\quad$将空间域描述的图像，经过某种变换后得到变换域中的数据，达到改变数据分布形式、减少有效数据量的目的。
$\quad$变换包含DCT(离散余弦变换)、DST(离散正弦变换)等，这里我们主要讨论DCT。在图像视频压缩中采用的变换都是正交变换，因为正交变换不改变信源熵值，完全可以通过反变换重建原图，且压缩程度高。变换的好处在于使得数据分布发生改变，变换系数向低频方向集中，利于编码。
$\quad$采用DCT变换的图像、视频压缩基本框架如下：

$\quad$H.264采用整数DCT变化，主要目的有两个：1. 采用整数，提高运算速度 2. 将归一化和量化整合在一起，减少乘运算。变换方程为$F_c=C \cdot f \cdot C^T$Fc​=C⋅f⋅CT,，变换矩阵C，第 u 行，第 x 列元素表示为：

在N=4时，即4x4图像块的DCT变换为：

其中，

二、数据扫描

“之”字扫描(Zig-Zag) — 逐行扫描顺序

“之”字扫描(Zig-Zag) — 场扫描顺序

三、量化

$\quad$量化是指将信号的连续取值(或大量可能的离散取值)映射为有限多个离散值的过程，实现信号取值多对一的映射。在视频/图像编码中，残差信号经过DCT后，变换系数往往具有较大的动态范围，因此对变换系数进行量化可以有效地减小信号取值空间，获得更好的压缩效果。
$\quad$量化分为两类，如下：

• 标量量化：无需分析数据统计特性，复杂度低，但平均量化误差大。被主流的图像、视频编码标准所采用；
• 矢量量化：基于数据统计属性的量化器，平均量化误差低，但不容易实现。
  $\quad$对于位于某个区间的值x，都用一个定值代替。即$y=Q(x)=y_k, x \in [x_k, x_{k+1})$y=Q(x)=yk​,x∈[xk​,xk+1​)。假定量化的级别，即重建值的个数为L，则表示这些量化索引所用的最多平均比特数为$log_2 L$log2​L。

均匀量化

• 均匀量化的特点是在整个量化范围内，各个量化间隔都相等；
• 若信号X的取值范围为[a, b]，量化级别为L，则每个量化间隔的大小为$\Delta = \frac{b-a}{L}$Δ=Lb−a​
• 均匀量化的量化误差q的取值范围为$-\Delta /2 \le q \le \Delta /2$−Δ/2≤q≤Δ/2，q在$[-\Delta /2, \Delta /2]$[−Δ/2,Δ/2]服从均匀分布，故而量化误差的方差为$σ_q = \frac{1}{\Delta} \int_{-\Delta /2}^{\Delta /2} q^2 dq=\frac{\Delta ^2}{12}$σq​=Δ1​∫−Δ/2Δ/2​q2dq=12Δ2​。

最优量化