傅里叶变换的矩阵分析

本文是对 [Matrix Analysis and Applied Linear Algebra][1] 一书中第5.8章离散傅里叶变换（DISCRETE FOURIER TRANSFORM）的浅显解读和翻译。因个人能力有限，理解难免出现偏差，仅作抛砖引玉，希望各位指正我的错误，讨论出真知。本文会长期进行更新。

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  • 离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶反变换IDFT
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离散傅里叶变换（DFT）与离散傅里叶反变换（IDFT）

这个部分将介绍5.8章节中导读，5.8.1子章节和5.8.2子章节部分。
导读：复数n阶单位根、欧拉公式、复数的性质。接着定义傅里叶矩阵，介绍傅里叶矩阵以及逆矩阵的性质。
5.8.1：傅里叶变换。
5.8.2：傅里叶反变换。

导论

欧拉公式作为指数到三角代换的桥梁。
复数n阶单位根着重注意其几何解释，作为理解傅里叶矩阵性质的重要工具。
复数的性质是傅里叶矩阵性质的基本。
综合以上两条理解傅里叶矩阵到其逆矩阵的变化。

-欧拉公式

ex=cosx+isinx

首先给出欧拉公式，但不做具体的说明。下文中仅利用欧拉公式对指数形式表示和三角函数形式表示之间进行转换。

-复数n阶单位根（nth roots of unity）

{1,ω,ω2,...,ωn−1}

说明
n为给定的正实数
ω=e2πi/n=cos2πn+isin2πn （欧拉公式）

数学解释
复数n阶单位根是 zn=1 的所有解。
即命题为：当给定一个正实数n，求 zn=1。解得 z={1,ω,ω2,...,ωn−1}。

几何解释
复数n阶单位根在复数数轴中体现为：它们构成了在圆内的正n边形，即这些点等距的分布在复数圆的边上。下图给出了n为3和6的情况。

n阶单位根在圆内循环出现，相当于以某方向以固定间隔绕圈。
故有当 k≥n， ωk=ωk(modn)
其中k(modn)为求模取余运算。
相当于点ωk 在圆上绕圈次数为k/n的向下取整，又向前移动余数位置。例如当 n=3,k=4时，点绕圆转动一圈，落在ω位置上。

-复数n阶单位根的共轭形式

{1,ξ,ξ2,...,ξn−1}

说明
ξ 与 ω 共轭，即 ξ=ω¯
ξ=e2πi/n=cos2πn−isin2πn （欧拉公式）

数学解释
同ω，可以理解为构成的集合相同，顺序相反。

几何解释
同ω，可以理解为构成在圆上的点重合，起始顺序相反。下图给出了n为3和6的情况。

这两张图对于直观的理解傅里叶矩阵与傅里叶变换有非常重要的作用。

-复数ω与ξ的性质

ξ−k=ξk¯=ωk

上式说明，对于复数 ω 与 ξ 来说，其-1指数形式可以用其共轭形式进行计算。这个性质可以对照n阶根的两张图片理解。（表示的点完全相同，起止方向完全相反）

1+ξ+ξk+ξ2k+⋅⋅⋅+ξ(n−1)k=0

上式说明，对于下面要提到的傅里叶矩阵的任何一行或任何一列来说，其和为零。

-傅里叶矩阵
定义

傅立叶矩阵是常量，矩阵维度为n×n，其定义只和阶数n的大小有关。傅里叶矩阵的第个 (j,k) 元素值为ξjk或也可写为ω−jk。特别需要注意的是这里的j与ｋ下标从０到n-1。

性质
１.　正交性

上式说明，说明傅里叶矩阵的任意不同两行或者两列的乘积都是零，是正交矩阵。

２.　归一化

上式说明，其任意行或列的二范数为n，故归一化到单位正交矩阵需要在上面定义的傅里叶矩阵中前加入系数。

运算（傅里叶逆矩阵）

上式推导，表示傅里叶矩阵由共轭求逆的过程，在傅立叶反变换中会使用到。
即

离散傅里叶变换

-傅里叶矩阵与傅里叶逆矩阵
下面是当n=2以及当n=4时傅里叶矩阵与傅里叶逆矩阵的具体例子
傅里叶矩阵：

傅里叶逆矩阵

-离散傅里叶变换矩阵表达
给定一个向量xn×1，x的离散傅里叶变换矩阵表达形式为Fnx，即傅里叶矩阵乘以向量x。F−1nx离散傅里叶反变换。
具体如下

离散傅里叶反变换

-离散傅里叶反变换矩阵表达

F−1nx=F¯nxn=Fnx¯¯n

-离散傅里叶反变换的过程
以下三步
x←x¯: 求原始向量的共轭向量
x←FFT(x): 求FFT
x←(1/n)x¯: 求共轭向量并加入系数1/n
上述过程说明了可以用FFT算法实现快速傅里叶变换以及快速傅里叶反变换。仅需要改变共轭和系数。

-离散傅里叶反变换的例子