旋转矩阵更容易理解与记忆的推导，从2D到3D

摘要

旋转矩阵更容易理解与记忆的推导，从2D到3D

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声明：本文推导适用于右手坐标系。
旋转角度说明：本文说的绕x轴旋转$\theta$θ度指的是顺着x轴负方向看过去，逆时针旋转$\theta$θ度。若想获得顺时针旋转的旋转矩阵，只需要把$\theta$θ改为$-\theta$−θ即可。（个人觉得3D空间中要想准确描述旋转而不造成混淆，至少要说明三点：旋转轴，朝向，在该朝向下是顺时针还是逆时针旋转。）

2D旋转矩阵

2D旋转矩阵推导公式网上都有，不再赘述。参考这里，有

由上述推导可得2D空间中，从X轴向Y轴旋转$\theta$θ度的旋转矩阵为：
$\begin{bmatrix} X' \\ Y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$[X′Y′​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][XY​]
注意：上述公式相当于3D空间中，绕Z轴旋转$\theta$θ度的公式，即顺着Z轴负方向看过去逆时针旋转$\theta$θ度。也相当于把X轴旋转向Y轴的公式。
后面的3D旋转矩阵全都以此为基础变形，无非是移动一下元素位置。

3D旋转矩阵

绕Z轴旋转$\theta$θ度的公式

由2D旋转矩阵直接可得，不作推导：
$\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}$⎣⎡​X′Y′Z′​⎦⎤​=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​XYZ​⎦⎤​

绕Y轴旋转$\theta$θ度的公式

可根据2D旋转矩阵直接变形得到，过程如下：
根据我们的规定，绕Y轴旋转表示逆着Y轴正方向逆时针旋转，根据右手坐标系可知，相当于从Z轴旋转向X轴，根据2D旋转矩阵，可得
$\begin{bmatrix} Z' \\ X' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Z \\ X \end{bmatrix}$[Z′X′​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][ZX​]
扩展到3D旋转矩阵，为
$\begin{bmatrix} Z' \\ X' \\ Y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Z \\ X \\ Y \end{bmatrix}$⎣⎡​Z′X′Y′​⎦⎤​=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​ZXY​⎦⎤​
调整一下右边坐标顺序，公式变形为
$\begin{bmatrix} Z' \\ X' \\ Y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -sin\theta & 0 & cos\theta \\ cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}$⎣⎡​Z′X′Y′​⎦⎤​=⎣⎡​−sinθcosθ0​001​cosθsinθ0​⎦⎤​⎣⎡​XYZ​⎦⎤​
再调整一下左边坐标顺序，公式变形为
$\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}$⎣⎡​X′Y′Z′​⎦⎤​=⎣⎡​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​⎦⎤​⎣⎡​XYZ​⎦⎤​

绕X轴旋转$\theta$θ度的公式

同理，也可从2D旋转矩阵直接变形得到
$\begin{bmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}$⎣⎡​X′Y′Z′​⎦⎤​=⎣⎡​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎦⎤​⎣⎡​XYZ​⎦⎤​

相关/参考链接

旋转矩阵公式推导
旋转矩阵推导 | 推荐读这个，首先它清楚的定义了顺时针旋转到底是怎么转，只有定义清楚了，旋转才不会混淆。