四元数旋转表达（Hamilton notation & JPL notation）

1. 四元数介绍

此处链接讲述了四元数的概念和旋转相关的知识。

2. 验证四元数旋转某个点后，结果是一个虚四元数（实部为零）。

即证明：$\textbf{p'}=\textbf{q}\textbf{p}\textbf{q}^{-1}$p’=qpq−1的实部为0，其中$\textbf{p}$p为用纯四元数表达描述的三维空间点，$\textbf{p}=[0,x,y,z]$p=[0,x,y,z]，$\textbf{q}$q为表示对应旋转的四元数。（由于使用的四元数一般为单位四元数，所以四元数的逆就是其共轭：$q^{-1}=q^{*}/||q||^{2}$q−1=q∗/∣∣q∣∣2）
2.1.此处链接是证明过程。
2.2. 在第1节链接的微信公众号中最后一个部分也证明了这个结果，方法更简单。
2.3. 两个四元数乘积的模即为模的乘积，这保证了单位四元数相乘以后仍是单位四元数：
$\parallel{q_aq_b}\parallel=\parallel{q_a}\parallel\parallel{q_b}\parallel$∥qa​qb​∥=∥qa​∥∥qb​∥

3. 四元数q变换为旋转矩阵R

四元数记为：$q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k$q=q0​+q1​i+q2​j+q3​k
根据四元数的表示形式，有两种表示方法：Hamilton和JPL;
3.1. 由于哈密顿发明了四元数，Hamilton表示的四元数更常用，所以这里先介绍Hamilton形式下的变换：Hamilton满足：$ij=k, ijk=-1$ij=k,ijk=−1
变换为旋转矩阵R，有：
$\bf{R}_{Ham}= \it{}\begin{bmatrix} 1−2q^2_2−2q_3^2 & 2q_1q_2−2q_0q_3 & 2q_1q_3+2q_0q_2 \\ 2q_1q_2+2q_0q_3 & 1−2q^2_1−2q^2_3 & 2q_2q_3−2q_0q_1 \\ 2q_1q_3−2q_0q_2 & 2q_2q_3+2q_0q_1 & 1−2q^2_1−2q^2_2 \end{bmatrix}$RHam​=⎣⎡​1−2q22​−2q32​2q1​q2​+2q0​q3​2q1​q3​−2q0​q2​​2q1​q2​−2q0​q3​1−2q12​−2q32​2q2​q3​+2q0​q1​​2q1​q3​+2q0​q2​2q2​q3​−2q0​q1​1−2q12​−2q22​​⎦⎤​

3.2. 接着介绍JPL形式下的变换：JPL满足：$ij=-k, ijk=1$ij=−k,ijk=1
变换为旋转矩阵R，有：
$\bf{R}_{JPL}= \it{}\begin{bmatrix} 1−2q^2_2−2q_3^2 & 2q_1q_2+2q_0q_3 & 2q_1q_3−2q_0q_2 \\ 2q_1q_2−2q_0q_3 & 1−2q^2_1−2q^2_3 & 2q_2q_3+2q_0q_1 \\ 2q_1q_3+2q_0q_2 & 2q_2q_3−2q_0q_1 & 1−2q^2_1−2q^2_2 \end{bmatrix}$RJPL​=⎣⎡​1−2q22​−2q32​2q1​q2​−2q0​q3​2q1​q3​+2q0​q2​​2q1​q2​+2q0​q3​1−2q12​−2q32​2q2​q3​−2q0​q1​​2q1​q3​−2q0​q2​2q2​q3​+2q0​q1​1−2q12​−2q22​​⎦⎤​

4. 使用情况

4.1. Hamilton形式
Joan Sol`a大佬写的ESKF文档《Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter》使用的是Hamilton形式；

4.2. JPL形式
MSCKF开源代码中（它的推导是按照MARS实验室的文档来）；
MARS实验室介绍四元数的PDF文档《Indirect Kalman Filter for 3D Attitude Estimation》；
VINS-Mono使用的是JPL形式；
4.3. 两种形式的区别

5. 参考资料

[1] 四元数的表示形式Hamilton & JPL定义
[2] 四元数的表示形式Hamilton & JPL定义及影响
[3] Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter
[4] 《视觉SLAM十四讲 第二版》笔记及课后习题（第三讲）