CS-NLR 学习笔记（二）

CS-NLR 算法 主要是进行非局部块匹配，然后对块的集合进行 低秩矩阵的最优化 和 图像恢复 操作

Low-Rank Matrix Optimization via SVT

按照上文内容对整幅图像进行块匹配，然后得到低秩矩阵Li
对每个Li，即是最小化问题

其中L(Li, ε)是Li奇异值得对数和的近似，ε是一个小的常量， 上式也可以写成

其中Xi = Rix （Rix = [Ri₀x, Ri₁x, …, Ri_m-1x]，表示由相似块的集合构成的矩阵）， n0 = min{n, m}（Li为n*m矩阵，且n<=m），σj（Li）表示Li的第j个奇异值。

令f（σ） = ∑ⁿ_j=1log（σj + ε），将其Taylor展开

那么解得：

忽略常量，▽f = ∑ⁿ⁰_j=1 1 /（σj + ε），上式可写作

其中 τ = λ/2η，φ（Li，w） = ∑ⁿ⁰_j wj*σj
φ（Li，w）表示加权核范数，权重wj = 1 /（σj + ε）

定理1（加权核范数的临近算子）
对每个X_n*m 0 <= w1 <= … <= wn0，n0 = min{n, m}

最小值可由加权奇异值阈值算子（weighted singular value thresholding operator）S_w,t（X）给出：

其中U∑V^T是X的SVD分解，（x）₊ = max{x , 0}

由定理1，最终第k+1次迭代得到：

其中U∑V^T是Xi的SVD分解，wj = 1 /（σj + ε）
初始w可设为[1, 1, …, 1]^T

Image Recovery via ADMM

对于求解后的每个Li，可以通过求解最小化问题重建整幅图像

这是一个二次最优化问题

其中H是Hermit置换算子。由于求逆不太现实，所以无法进行直接求解。实际上，可以采用共轭梯度法（CG）进行求解。

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当测量矩阵Φ是部分傅里叶变换阵的时候，可以通过ADMM进行快速求解(19)：

z是辅助变量，μ是拉格朗日乘子，β是正标量，可以通过迭代求解(21)：

ρ>1是个常量

固定 x, u, β

其中 ∑_iRi^TRi是一对角阵，对角元素与相应图像的像素位置有关，它的值等于此像素位置重叠块的数量。∑_iRiLi是所有相似块的平均值

固定z, u, β

其中Φ是部分傅里叶变换阵Φ = DF（D是下采样阵，F是傅里叶变换阵）
在傅里叶域可以轻松求解：

进行逆傅里叶变换即可求解x

整体算法流程图如下：