Directional field synthesis, design, and processing

1. Types of Directional Fields

1. 方向场：每个点上的方向或矢量组成的一个大小为 N N N的集合。
2. RoSy fields: rotationally-symmetric direction fields，对称角度为 2 π N \frac{2\pi}{N} N2π​

以上右上角带小标的代表模大小相同。

2. Differential Geometry of Directional Fields

2.1 Differential and Riemannian Structure

1. Tangent Bundle and Vector Fields：切丛和向量场，由曲面M的切向量组成。

2. Cotangent Bundle and 1-forms ×

3. Connections and Parallel Transport ×

4. Riemannian Metric ×

5. Levi-Civita Connection ×

6. Holonomy ×

2.2 Vector Field Topology

  奇异点的指标，是包围奇异点的封闭曲线上的向量逆时针遍历一圈后所旋转的次数。而Poincare–Hopf theorem指出在向量场上所有奇异点指标之和 ∑ i n d e x = 2 − 2 g \sum index =2-2g ∑index=2−2g,其中 g g g为规格

2.3 Vector Calculus

1. 梯度、散度、旋度的介绍。
2. 霍奇分解和协变场 ×
3. 外积分

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