图像的采样和量化（二维DFT公式详细推导）

最近复习图像和视频处理课，好多基础推导都不能得心应手，复习进度相当缓慢，过程异常痛苦。图像的二维傅里叶变换的公式始终没成功推出来，执着地僵持了很久，于是成此文。

数字图像（M行*N列）是二维离散信号，可以认为是从一维离散时间信号（也就是 序列）的推广。

(一)二维脉冲阵列信号的FT

考虑二维脉冲阵列信号：

$p(x,y)=\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}\delta(x-k\Delta x, y-l\Delta y)\tag1$p(x,y)=k=0∑M−1​l=0∑N−1​δ(x−kΔx,y−lΔy)(1)
k,l只是序号，实际上$x$x只能取离散值$k\Delta x$kΔx, $y$y只能取$l\Delta y$lΔy.
$\Delta x,\Delta y$Δx,Δy分别是图像在空域x和y方向的采样间隔。而$\frac{1}{\Delta x},\frac{1}{\Delta y}$Δx1​,Δy1​是频域u和v方向的采样率.

显然，
$p(x,y)=\delta(x,y)+\delta(x,y-\Delta y)+\cdots+\delta(x,y-(N-1)\Delta y)$p(x,y)=δ(x,y)+δ(x,y−Δy)+⋯+δ(x,y−(N−1)Δy)
$+\delta(x-\Delta x,y)+\delta (x-\Delta x,y-\Delta y)+\cdots+\delta(x-\Delta x,y-(N-1)\Delta y)+$+δ(x−Δx,y)+δ(x−Δx,y−Δy)+⋯+δ(x−Δx,y−(N−1)Δy)+
$\cdots$⋯
$+\delta(x-(M-1)\Delta x,y-(N-1)\Delta y)\tag2$+δ(x−(M−1)Δx,y−(N−1)Δy)(2)
所以它是M*N的阵列，每个点的值都是1 .

对（1）做二维FT：（关于二维傅里叶变换公式，移步这里.）
$P(u,v)=\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}p(x,y)e^{-j2\pi(uk\Delta x+vl\Delta y)}=\tag3$P(u,v)=Δx1​Δy1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​p(x,y)e−j2π(ukΔx+vlΔy)=(3)
直接把（1）进来：

$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}\delta(x-k\Delta x, y-l\Delta y)e^{-j2\pi(uk\Delta x+vl\Delta y)}=\tag4$Δx1​Δy1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​δ(x−kΔx,y−lΔy)e−j2π(ukΔx+vlΔy)=(4)

由冲激函数的抽样性，只有当$x=k\Delta x,y=l\Delta y$x=kΔx,y=lΔy时冲激函数取值为1，则：
$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}e^{-j2\pi(xu+yv)}=\tag5$Δx1​Δy1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​e−j2π(xu+yv)=(5)
由于$x=k\Delta x,y=l\Delta y$x=kΔx,y=lΔy，所以：
$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}e^{-j2\pi(k\Delta xu+l\Delta yv)}=\tag6$Δx1​Δy1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​e−j2π(kΔxu+lΔyv)=(6)
由于指数的括号里面的值一定是整数 ，所以$\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}e^{-j2\pi(k\Delta xu+l\Delta yv)}$∑k=0M−1​∑l=0N−1​e−j2π(kΔxu+lΔyv)就是M*N个1，于是可以写成：
$\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}\delta(u-\frac{k}{\Delta x},v-\frac{l}{\Delta y})\tag7$Δx1​Δy1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​δ(u−Δxk​,v−Δyl​)(7)

其实（6）—(7) 的过程我不是特别明白，没完全想清楚，如有读者清楚欢迎在评论区说明，谢谢啦。

（二）图像的采样和重建

对图像采样就是原始信号$f(x,y)$f(x,y)与采样脉冲序列$p(x,y)$p(x,y)相乘。
$f_s(x,y)=f(x,y)p(x,y)$fs​(x,y)=f(x,y)p(x,y)
那么在频域就有:
$F_s(u,v)=\frac{1}{2\pi}F(u,v)*P(u,v)=$Fs​(u,v)=2π1​F(u,v)∗P(u,v)=
$\frac{1}{2\pi}F(u,v)*[\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}\delta(u-\frac{k}{\Delta x},v-\frac{l}{\Delta y})]=$2π1​F(u,v)∗[Δx1​Δy1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​δ(u−Δxk​,v−Δyl​)]=
$\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\Delta x}\frac{1}{\Delta y}\sum_{k=0}^{M-1}\sum_{l=0}^{N-1}F(u-\frac{k}{\Delta x},v-\frac{l}{\Delta y})$2π1​Δx1​Δy1​k=0∑M−1​l=0∑N−1​F(u−Δxk​,v−Δyl​)

根据Nyquist定理，只要有
$\frac{1}{\Delta x}\geq2U_{max},\frac{1}{\Delta y}\geq2V_{max}$Δx1​≥2Umax​,Δy1​≥2Vmax​
原始的模拟信号就可以从采样得到的数字图像中完美重建。

而在实际中，重构是利用低通滤波器实现的。如下图，原始模拟信号经过采样，频谱延拓并周期性重复，用LowPass filter滤出一个完整频谱即可。