拉氏变换原理分解理解
拉氏变换原理分解理解
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数 t ( t ≥ 0 ) t(t≥ 0) t(t≥0) 的函数转换为一个参数为复数 s s s 的函数。
拉普拉斯变换是对于 t ≥ 0 t≥0 t≥0 函数值不为零的连续时间函数 x ( t ) x(t) x(t) 通过关系式
X ( s ) = ∫ o ∞ x ( t ) e − s t d t X(s) = \int_o^{\infty} x(t) e^{-st} dt X(s)=∫o∞x(t)e−stdt
(式中 − s -s −s t为自然对数底 e e e 的指数)变换为复变量 s s s 的函数 X ( s ) X(s) X(s)。它也是时间函数 x ( t ) x(t) x(t) 的“复频域”表示方式。
1. 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
如果定义：
f
(
t
)
f(t)
f(t) 是一个关于
t
t
t 的函数，使得当
t
<
0
t<0
t<0 时候，
f
(
t
)
=
0
f(t)=0
f(t)=0；
s
s
s 是一个复变量；
L
\mathcal{L}
L 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分，
F
(
s
)
F(s)
F(s) 是
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的拉普拉斯变换结果。
则
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的拉氏变换可由下式给出：
F ( s ) = ∫ o ∞ f ( t ) e − s t d t F(s) = \int_o^{\infty} f(t) e^{-st} dt F(s)=∫o∞f(t)e−stdt
2. 拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换是已知 F ( s ) F(s) F(s) 对 f ( t ) f(t) f(t) 进行求解的过程，用符号 L − 1 \mathcal{L}^{-1} L−1 表示。
Ref:
拉普拉斯变换-百度百科
3. 拉氏变换的一些性质
（1）线性性质
L [ a f 1 ( t ) ± b f 2 ( t ) ] = a F 1 ( s ) ± b F 2 ( s ) \mathcal{L}[af_1(t) \pm bf_2(t) ] = aF_1(s) \pm bF_2(s) L[af1(t)±bf2(t)]=aF1(s)±bF2(s)
（2）微分定理
L [ f ′ ( t ) ] = s ⋅ F ( x ) − f ( 0 ) \mathcal{L}[f'(t)] = s\cdot F(x) - f(0) L[f′(t)]=s⋅F(x)−f(0)
（3）积分定理
L [ ∫ f ( t ) d t ] = 1 s F ( s ) + 1 s f ( − 1 ) ( 0 ) , 右 上 角 − 1 表 示 1 次 积 分 运 算 \mathcal{L}[\int f(t)dt] = \frac1s F(s) + \frac1s f^{(-1)}(0),\quad 右上角-1表示1次积分运算 L[∫f(t)dt]=s1F(s)+s1f(−1)(0),右上角−1表示1次积分运算
（4）实位移定理
L [ f ( t − τ 0 ) ] = e − τ 0 s F ( s ) \mathcal{L}[f(t-\tau_0)] = e^{-\tau_0 s} F(s) L[f(t−τ0)]=e−τ0sF(s)
Proof: 左 = ∫ 0 ∞ f ( t − τ 0 ) e − t s d t 左 = \int_0^\infty f(t-\tau_0)e^{-ts} dt 左=∫0∞f(t−τ0)e−tsdt
令 t − τ 0 = τ t-\tau_0 = \tau t−τ0=τ
= ∫ τ 0 ∞ f ( τ ) e − s ( τ + τ 0 ) d τ = e − τ 0 s ∫ − τ 0 ∞ f ( τ ) e − τ s d τ = 右 =\int_{\tau_0}^\infty f(\tau)e^{-s(\tau+\tau_0)}d\tau=e^{-\tau_0s}\int_{-\tau_0}^\infty f(\tau)e^{-\tau s}d\tau=右 =∫τ0∞f(τ)e−s(τ+τ0)dτ=e−τ0s∫−τ0∞f(τ)e−τsdτ=右
（5）复位移定理
L [ e A t f ( t ) ] = F ( s − A ) \mathcal{L}[e^{At}f(t)] = F(s-A) L[eAtf(t)]=F(s−A)
Proof: 左 = 左= 左=
（6）初值定理
lim t → 0 = lim s → ∞ s ⋅ F ( s ) \lim_{t\rightarrow 0} = \lim_{s\rightarrow\infty}s\cdot F(s) t→0lim=s→∞lims⋅F(s)
（7）终值定理（原函数终值需要确实存在）
lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s ⋅ F ( s ) \lim_{t\rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s\rightarrow 0}s\cdot F(s) t→∞limf(t)=s→0lims⋅F(s)
From: 自动控制原理（西北工业大学 卢京潮）-P6
2. 常见函数拉氏变换
From: 拉氏变化-自动控制原理
4. 拉氏变化拆解
4.1 傅立叶变换
再一个我们常接触的变换就是傅里叶变换了，网上对傅里叶变换的讲解非常多，知乎上也有很多大神对傅里叶变换进行了详解。但网上讲了这么多，其实只占傅里叶变换的一小部分，还有大量的细节值得挖掘。比如，复频率的含义，离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系，傅里叶级数和傅里叶变换的关系等等。我也会在以后尽力分享一些关于傅里叶变换的内容。书归正传，傅里叶变换就是将信号从时域变换到频域下。那么，为什么要将信号从时域变换到频域呢？或者说，为什么频域这么重要呢？
我们可以从定义中找到答案。因为，傅里叶变换是将信号展开到三维中，一维是频率轴，一维是实数轴，另一维是复数轴。而信号原来只是一个时间轴和幅值轴，是一个二维信号。那么，显然将一个信号从二维展开到三维上，就可以让我们看的更清楚。就像一张二维的白纸，如果在二维空间中观察，我们只能看到它的形状。而到了三维空间，我们不仅可以看出形状，还可以知道白纸是有正反面的，还可以对这个白纸进行各种扭曲、折叠等等操作。这部分其实应该画图说明一下，以后一定补上。
自动控制原理也可以称为经典控制理论，其核心就是利用拉普拉斯变换分析系统特征，如系统稳定性、响应速度、稳态误差等等。别看自动控制原理里面感觉内容很多很杂，其实大体可以粗略分为四大块：
- 如何将系统写为拉氏变换，
- 如何用拉氏变换定性分析系统（根轨迹），
- 如何用拉氏变换定量分析系统（频率法），
- 如何利用拉氏变换设计控制系统（控制器的设计）。
可以看出，拉氏变换才是自控的那根主心骨，学好拉氏变换就能很形象的理解自控里面的很多概念和理论。特别是稳定性定理，在自控中占用了大量篇幅介绍各种稳定性判据，各种变形，到现在我也没记清过到底应该是怎么回事。其实，我们只要理解了稳定性判据的根源，其他各种变形也就很容易理解了。
From: 变换是一种方法论
From: 解开自动控制原理的核心——拉氏变换