机器学习基石-Linear Model for Classification

大纲

Linear Models for Binary Classification

1 Linear Models Revisited

通过上图，我们发现，linear regression和logistic regression的损失函数都是凸函数，都可以方便的求出最小值对应的解，而linear classification的损失函数不易优化，所以我们能否利用linear regression和logistics regression来做linear classification?

2 Error Function Revisited

我们对以上三种模型都引入了ys变量，ys变量代表的物理意义是正确性得分，就是分数越大，分类的越好。

3 Visual Error function

通过画出损失函数的图像，我们可以发现linear regression和logistic regression的损失函数都是0/1损失函数的上界，将scale版本的logistic regression 损失是0/1损失的一个更好的上界

Theoretical Implication of Upper Bound

这里用logistic regression做说明

• VC on 0/1
  
  E0/1out(w)≤E0/1in(w)+Ω0/1≤1ln2ECEin(w)+Ω0/1
• VC-Reg on CE
  
  E0/1out(w)≤1ln2ECEout(w)≤1ln2ECEin(w)+ΩCE

所以
small ECEin(w)⇒ small E0/1out(w)

Regression for classification

我们可以利用回归来做分类

• 通过logistics/linear reg在数据机上学习参数wreg
• 返回函数g(x)=sign(wTregx)

• PLA算法简单，但是只能用于线性可分的场景，对于线性不可分的情况，可以
  利用pocket算法

• linear regression易于求解，但是对于大|ys|，上界过于宽松

• logistic regression易于求解，在very negative ys,上界过于宽松

所以我们一般利用linear regression跑出一初始解w0,然后利用PLA/pocket/logistic regression来继续求解。logistic性能常常优于pocket

Stochastic Gradient Descent

• SGD简单，计算量小，经常用于海量数据，和在线学习
• 但是稳定性差

SGD logistic regression称之为’soft’ PLA，因为PLA只对分类错误的点进行修正，而SGD logistic regression每次迭代都会进行或多或少的修正。另外，当η=1，且wTxn足够大的时候，SGD近似等于PLA

Multiclass Via Logistic Regression

1 One Class at a Time

但是，这样的二分类会带来一些问题，因为我们只用{-1，+1}两个值来标记，那么平面上某些可能某些区域都被上述四次二分类模型判断为负类，即不属于四类中的任何一类；也可能会出现某些区域同时被两个类甚至多个类同时判断为正类，比如某个区域又判定为正方形又判定为菱形。那么对于这种情况，我们就无法进行多类别的准确判断，所以对于多类别，简单的binary classification不能解决问题。

2 One Class at a Time Soft

针对这种问题，我们可以使用另外一种方法来解决：soft软性分类，即不用{-1，+1}这种binary classification，而是使用logistic regression，计算某点属于某类的概率、可能性，取概率最大的值为那一类就好。

3 One-Versus-All Decomposition

• 高效
• 当K很大时，容易造成分类数据不平衡
• 可以通过多分类算法，softmax来解决

Multiclass Via Binary Classification

One Versus One at a Time

这种方法呢，每次只取两类进行binary classification，取值为{-1，+1}。假如k=4，那么总共需要进行C24=6次binary classification。那么，六次分类之后，如果平面有个点，有三个分类器判断它是正方形，一个分类器判断是菱形，另外两个判断是三角形，那么取最多的那个，即判断它属于正方形，我们的分类就完成了。这种形式就如同k个足球对进行单循环的比赛，每场比赛都有一个队赢，一个队输，赢了得1分，输了得0分。那么总共进行了C24次的比赛，最终取得分最高的那个队就可以了。

One Versus One Decomposition

• 高效，稳定
• 空间复杂度大