主定理证明

递归树推导

设总层数为t 所以$\frac{t}{b^n}=1$bnt​=1 （n规模大的问题，每次分为原问题的1/b ，t次分成1）
$t=log_{b}n$t=logb​n
总代价

假定a是b(b>1)的幂
主定理的三种情况分别对应这个式子的的三种情况
1.树的总代价由叶结点的代价决定，
2.树的总代价均匀分布在树的所有层次上
3.树的总代价由根结点的代价决定

case1：

若对某个常数ε>0有$f(n)=O(n^{log_{b}a-ε})$f(n)=O(nlogb​a−ε)则$g(n)=O(n^{log_{b}a})$g(n)=O(nlogb​a)可转换为
存在$f(n)=O(n^{c})$f(n)=O(nc) ，其中 $c<log_{b}a$c<logb​a
$T(n)=\sum_{i=0}^ta^{i}O((\frac{n}{b^i})^c)$T(n)=i=0∑t​aiO((bin​)c)
$=O(\sum_{i=0}^ta^{i}(\frac{n}{b^i})^c)$=O(i=0∑t​ai(bin​)c)
$=O(n^c\sum_{i=0}^t(\frac{a}{b^c})^i)$=O(nci=0∑t​(bca​)i)
$求和项为等比数列$求和项为等比数列
$=O(n^c(\frac{a}{b^c})^t)$=O(nc(bca​)t)
$\frac{n^c}{b^{tc}}=1$btcnc​=1
$=O(a^t)$=O(at)
$a^t=a^{log_{b}n}=a^\frac{{log_{a}n}}{{log_{a}b}}=a^{log_{a}n*log_{b}a}$at=alogb​n=aloga​bloga​n​=aloga​n∗logb​a
$=O(n^{log_{b}a})$=O(nlogb​a)
得证

case2：

若$f(n)=Θ(n^{log_{b}a})$f(n)=Θ(nlogb​a)则$g(n)=Θ(n^{log_{b}a})$g(n)=Θ(nlogb​a)
假设$f(n)=Θ(n^{log_{b}a})$f(n)=Θ(nlogb​a) 所以$f(\frac{n}{b^i})=Θ((\frac{n}{b^i})^{log_{b}a})$f(bin​)=Θ((bin​)logb​a)
$T(n)=Θ(\sum_{i=0}^ta^{i}(\frac{n}{b^i})^{log_{b}a})$T(n)=Θ(i=0∑t​ai(bin​)logb​a)
$=Θ(n^{log_{b}a}\sum_{i=0}^t(\frac{a}{a})^i)$=Θ(nlogb​ai=0∑t​(aa​)i)
$=Θ(n^{log_{b}a}\sum_{i=0}^t1)$=Θ(nlogb​ai=0∑t​1)
$=Θ(n^{log_{b}a}log_{b}n)$=Θ(nlogb​alogb​n)
$=Θ(n^{log_{b}a}lgn)$=Θ(nlogb​algn)

case3：

若对某个常数c<1和所有足够大的n有$af(\frac{n}{b})\leq cf(n)$af(bn​)≤cf(n)则$T(n)=Θ(f(n))$T(n)=Θ(f(n))
$T(n)=\sum_{i=0}^ta^{i}f(\frac{n}{b^i})\leq\sum_{i=0}^tc^{i}f(n)\leq f(n)\sum_{i=0}^∞c^{i}$T(n)=i=0∑t​aif(bin​)≤i=0∑t​cif(n)≤f(n)i=0∑∞​ci
$注意:c<1且求和部分为等比数列，求和再取极限$注意:c<1且求和部分为等比数列，求和再取极限
$=f(n)(\frac{1}{1-c})+O(1)=O(f(n))$=f(n)(1−c1​)+O(1)=O(f(n))
在上篇的矩阵乘法中，
分治法得到的复杂度$T(n)=8T(\frac{n}{2})+O(n^²)$T(n)=8T(2n​)+O(n²)
则a=8，b=2 满足第一种情况 复杂度为$O(n^{log_{2}8})=O(n^3)$O(nlog2​8)=O(n3)
Strassen方法中 复杂度$T(n)=7T(\frac{n}{2})+O(n^²)$T(n)=7T(2n​)+O(n²)
a=7, b = 2 也满足第一种情况，复杂度为$O(n^{log_{2}7})$O(nlog2​7)