分治法介绍

文章目录

• 分治法：
• 1、介绍：
• 2、步骤：
• 3、分析：
• 1）、代入法：
• 2）、递归树法：
• 3）、主方法：
• 4、应用：

分治法：

1、介绍：

分治法(Divide and Conquer)，即分而治之，是一种非常重要的算法设计思想。我们能够使用分治思想解决的问题通常结构上是 递归的：算法一次或多次递归地调用其自身以解决紧密相关的若干子问题。反过来，不是所有 递归问题都可以用分治法来解决，包括以后可能提到的动态规划。

2、步骤：

分治模式在每层递归时都有三个步骤：

1. 分：将原问题分解为多个小问题；
2. 治：递归求解子问题，以及子问题的子问题，往往子问题规模最小时都是可以直接得出结果；
3. 合并：将子问题的解组成原问题的解；

3、分析：

分治法的优点之一在于它的运行时间非常容易确定，例如归并排序的运行时间就可以写成如下的表达式：

$T(n)=\begin{cases}\Theta(1) & n=1 \\ 2T(\frac n2) + \Theta(n) & n > 1\end{cases}$T(n)={Θ(1)2T(2n​)+Θ(n)​n=1n>1​

• 这种表达式被称作递归式，使用递归式可以很自然的划分分治算法的运行时间；
• $T(n)$T(n)表示这一算法的最坏情况运行时间；

递归式的求解主要有三种方法：

1）、代入法：

猜测一个界，然后用数学归纳法证明；

2）、递归树法：

将递归式转换成一棵树，其结点表示不同层次的递归调用产生的代价；

可以得出代价为$\Theta(n)*lgn + \Theta(n)$Θ(n)∗lgn+Θ(n)，也就是$\Theta(nlgn)$Θ(nlgn)；

• 计算机科学中一般将2为底的对数写作lg；
• 分析过程不一定完美，只是提出思考的方式，深入学习可以看《算法导论》。

3）、主方法：

利用公式求解特定形状的递归式：$T(n)=aT(\frac n b) + f(n)$T(n)=aT(bn​)+f(n);

主方法，也被称为主定理的公式不在这里多讲，具体证明也可以去看前面提到的《算法导论》；

• 在我看来，递归树法最直观，而主方法更精确一些；

4、应用：

分治思想的运用非常广泛，甚至超过计算机科学的范畴；二分查找以及归并排序就是典型的应用；