JZOJ5946. 【NOIP2018模拟11.02】时空幻境（braid）

Description

Tim拥有控制时间的能力。他学会了BFS后，出了一道题：求出一张无向图中连通块的个数。他想请你做出这道题来

题解

其实跟bfs是没有关系的。
可以知道连边的点的编号是$x*k^i$x∗ki
而在模意义下面，$k^i$ki是有循环节的，
考虑这个循环节长度len的奇偶性，
如果是奇数，考虑连边的情况，
也就在第一个循环的结尾与第一个位置连边，
然后第二个位置跟第三个位置连边，
这样一来，就构成了一个环。
所以这种情况下的连通块个数n-(len/2)
如果是偶数，点是两两连边，所以这个情况下的联通块个数就是n-（len-1）。
现在问题就变为了如果求循环节。
因为模数是质数，根据费马小定理就可以知道，
$k^{mo-1}$kmo−1同余1在模意义下。
假设$k^{a}$ka同余1在模意义下，而且a是最小正数满足这个式子。
显然$k^{mo-1-i*a}$kmo−1−i∗a也是满足的，也就可以知道a一定是mo-1的约数，
于是，因为mo-1是一个固定的数，可以先预处理好mo-1的所有约数，$O(\sqrt n)$O(n​)。
其实约数只有不到100个，非常少，
对于输入的每一个k，就可以直接从小到大枚举约数，判断一下就可以了。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
char ch;
void read(int&n)
{
	for(ch=getchar();ch<'0'|| ch>'9';ch=getchar());
	for(n=0;'0'<=ch && ch<='9';ch=getchar())n=(n<<1)+(n<<3)+ch-48;
}
int T,n,m,x,k,s[103],ans;
ll ksm(ll x,int y)
{
	ll s=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%n)
		if(y&1)s=s*x%n;
	return s;
}
int main()
{
	n=998244352;
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0)s[++s[0]]=i,s[++s[0]]=n/i;
	sort(s+1,s+1+s[0]);
	freopen("braid.in","r",stdin);
	freopen("braid.out","w",stdout);
	for(read(T);T;T--)
	{
		read(n);read(m);read(x);read(k);
		if(k==1)printf("%d\n",n);else
		{
			for(int i=1;i<=s[0];i++)
				if(ksm(k,s[i])==1)
				{
					ans=s[i];
					break;
				}
			if(ans&1)ans--;else ans=ans>>1;
			printf("%d\n",max(1,n-min(ans,m)));
		}
	}
}