本篇是学习斯坦福公开课”Natural Language Processing with Deep Learning”时的笔记。
包含leture2的内容。
1. Word2Vec的含义
一个单词，神经网络理解不了，需要人转换成数字再喂给它。最naive的方式就是one-hot，但是太过于稀疏，不好。所以在改进一下，把one-hot进一步压缩成一个dense vector。
word2vec算法就是根据上下文预测单词，从而获得词向量矩阵。
预测单词的任务只是一个幌子，我们需要的结果并不是预测出来的单词，而是通过预测单词这个任务，不断更新着的参数矩阵weights。
预测任务由一个简单的三层神经网络来完成，其中有两个参数矩阵V和U，V∈ℝDh×∣W∣，U∈ℝ∣W∣×Dh。
V是输入层到隐藏层的矩阵，又被称为look-up table（因为，输入的是one-hot向量，一个one-hot向量乘以一个矩阵相当于取了这个矩阵的其中一列。将其中的每一列看成是词向量）。
U是隐藏层到输出层的矩阵，又被称为word representation matrix（将其中的每一行看成是词向量）。
最后需要的词向量矩阵是将两个词向量矩阵相加 = V+UT，然后每一列就是词向量。
2 两种实现方法
2.1 Skip-Gram
训练任务：根据中心词，预测出上下文词
输入：一个中心词（center word，x∈ℝ∣W∣×1）
参数：一个look up table V∈ℝDh×∣W∣，一个word representation matrix U∈ℝ∣W∣×Dh
输出：T个上下文词（context word，ŷ ∈ℝ∣W∣×1）
损失函数：cross-entropy - Jt(θ)=ylogŷ
详细步骤：
vc=Vx∈ℝDh×1
z=Uvc∈ℝ∣W∣×1
ŷ =softmax(z)∈ℝ∣W∣×1
Jt(θ)=ylogŷ
J(θ)=1T∑t=1TJt(θ)
Skip-Gram步骤图：
2.2 CBOW
与Skip-Gram相反，是通过完成上下文词预测中心词的任务来训练词向量的。
训练任务：根据上下文词，预测出中心词
输入：T个上下文词（context word，x∈ℝ∣W∣×1）
参数：一个look up table V∈ℝDh×∣W∣，一个word representation matrix U∈ℝ∣W∣×Dh
输出：一个中心词（center word，ŷ ∈ℝ∣W∣×1）
损失函数：cross-entropy - Jt(θ)=ylogŷ
详细步骤：
vot=V⋅xt∈ℝDh×1
vo=∑t=1Tvot
z=Uvo∈ℝ∣W∣×1
ŷ =softmax(z)∈ℝ∣W∣×1
J(θ)=Jt(θ)=ylogŷ
CBOW步骤图：
3. 两种优化方法
3.1 Negative Sampling
以下内容基于Skip-Gram模型。CBOW同理。
原始的方法中使用softmax()将z转化成ŷ 。很明显地，softmax()公式的分母将整个corpus都遍历了一遍，这个计算量并不小：
softmax(z)=zi∑∣W∣j=1zj
代替的方法是“负采样”。即从一个特定分布中，随机取出k个words来代表整个corpus。k个words和中心词(center word)组成成为noise pairs，上下文词(context words)和中心词(center word)组合成为true pairs。
这样一来，需要改变loss function为：
Jt(θ)=−logσ(uTovc)−∑k=1Klogσ(−uTkvc)
注：ui=U[i]，即U中第i行。
如果true pair出现的概率越大，noise pairs出现的概率越小，则这个loss会减小，满足loss的定义，所以可以把loss表示成如上公式。
3.2 Hierarchical Softmaxg
待续……
4. 两种求导
以下内容基于Skip-Gram模型。CBOW同理。
模型要学习的是两个参数矩阵V和U。
4.1 Naive Softmax bp
首先，对V求梯度其实就是对vc求梯度，因为在forward过程中，参与loss计算的只有V中第c列。所以，只对vc求导即可。
其次，对U求梯度，对U中每一个元素进行求导，因为在forward过程中，U中每一个元素参与loss计算(softmax中)。
Forward如下，只考虑一对pair：
vc=Vx
z=Uvc
ŷ =softmax(z)
Jt(θ)=−ylogŷ
Back Propagate如下：
定义几个reused项：
δ1=∂Jt∂z=ŷ −y
这一项很好求，softmax(z)=zi∑∣W∣j=1zj，先求∂Jt∂zi，再求∂Jt∂zj(j≠i)，然后组合成∂Jt∂z。
然后对U进行求导：
∂Jt∂U=∂Jt∂z⋅∂z∂U=δ1⋅vTc
提示：可以先大概的写出链式求导的几个项，然后根据维度进行组合。
接着对V进行求导：
∂Jt∂V=∂Jt∂vc=∂Jt∂z⋅∂z∂vc=UT⋅δ1
4.2. Negative Sampling bp
首先，对V求梯度其实就是对vc求梯度，因为在forward过程中，参与loss计算的只有V中第c列。所以，只对vc求导即可。
其次，对U求梯度，对uo和uk求梯度，因为在forward过程中，参与loss计算的只有uo和uk。
Forward如下，只考虑一对true pair：
vc=Vx
z=Uvc
Jt(θ)=−logσ(uTovc)−∑k=1Klogσ(−uTkvc)
Back Propagate如下：
对vc求导：
∂Jt(θ)∂vc=∂Jt(θ)∂uTovc⋅∂uTovc∂vc+∑k=1K∂Jt(θ)∂−uTkvc⋅∂−uTkvC∂vc=(σ(uTovc)−1)⋅uo−∑k=1K(σ(−uTkvc)−1)uk
同理，对uo求导：
∂Jt(θ)∂uo=(σ(uTovc)−1)⋅vc
同理，对uk求导：
∂Jt(θ)∂uk=−(σ(−uTkvc)−1)⋅vc
然后其余urest：
∂Jt(θ)∂urest=0
最后整理得：
∂Jt(θ)∂V=∂Jt(θ)∂vc
∂Jt(θ)∂U=[∂Jt(θ)∂uo;∂Jt(θ)∂uk;∂Jt(θ)∂urest]