随机梯度下降与动量详解

1. SGD图示

红色表示SGD的收敛路径，棕色表示梯度下降的收敛路径。普通的GD算法就是计算出每一时刻最陡的下降趋势(梯度)，SGD在随机挑选某一分量的梯度方向进行收敛，详细解释可继续往下看。

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2. SGD公式理解

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注：这一部分引用自知乎用户Qi Qi，原回答链接

随机梯度下降主要用来求解类似于如下求和形式的优化问题：

f(x)=∑i=1nfi(w,xi,yi)$$f(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i(w,x_i,y_i)$$

普通梯度下降算法：

wt+1=wt−ηt+1∇f(wt)=wt−ηt+1∑i=1n∇fi(wt,xi,yi)$$w_{t+1}=w_t-{\eta }_{t+1}\mathrm{\nabla }f(w_t)=w_t-{\eta }_{t+1}\sum _{i=1}^n\mathrm{\nabla }{f}_i(w_t,x_i,y_i)$$

当n$n$很大时，每次迭代计算所有的会非常耗时。∇fi$\mathrm{\nabla }{f}_i$随机梯度下降的想法就是: 每次在∇fi$\mathrm{\nabla }{f}_i$中随机选取一个计算代替如上的∇f$\mathrm{\nabla }f$，以这个随机选取的方向作为下降的方向。

wt+1=wt−ηt+1∇fik(wt,xik,yik)$$w_{t+1}=w_t-{\eta }_{t+1}\mathrm{\nabla }{f}_{i_k}(w_t,x_{i_k},y_{i_k})$$

      由于E[∇fik(wt,xik,yik)]$E[\mathrm{\nabla }{f}_{i_k}(w_t,x_{i_k},y_{i_k})]$=∇f(wt)$\mathrm{\nabla }f(w_t)$, 当选取学习率ηt=O(1/t)${\eta }_t=O(1/t)$时，算法在期望的意义下收敛。
      注意到在wt$w_t$靠近极小值点w∗$w_{\ast }$时，∇f(w∗)$\mathrm{\nabla }f(w_{\ast })$ ≠ 0，这导致随机梯度下降法精度低。由于方差的存在，要使得算法收敛，就需要ηt${\eta }_t$随t逐渐减小。因此导致函数即使在强凸且光滑的条件下，收敛速度也只有O(1/T)$O(1/T)$. 后来提出的变种SAG，SVRG，SDCA都是在降方差，为了保证在wt$w_t$→w∗$w_{\ast }$时，方差趋于0。以上提到的几种变种都能达到线性收敛速度。

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3. momentum 动量

“动量”这个概念源自于物理学，解释力在一段时间内作用所产生的物理量。我们没必要往复杂想，其实我们可以将动量约等于惯性。我们对惯性的基本理解就是: 当你跑起来，由于惯性的存在你跑起来会比刚起步加速的时候更轻松，当你跑过头，想调头往回跑，惯性会让你拖着你。
在普通的梯度下降法w=w+v$w=w+v$中，每次x$x$的更新量v$v$为

v=−ηdw$$v=-\eta dw$$

当使用动量时，则把每次x$x$的更新量v$v$考虑为本次的梯度下降量−ηdw$-\eta dw$与上次w$w$的更新量v$v$乘上一个介于[0, 1]的因子momentum的和，即v$v$为

vt=−ηdw+vt−1∗momentum$$v_t=-\eta dw+v_{t-1}\ast momentum$$

如果这一时刻更新度vt$v_t$与上一时刻更新度vt−1$v_{t-1}$的方向相同，则会加速。反之，则会减速。加动量的优势有两点：
1. 加速收敛
2. 提高精度(减少收敛过程中的振荡)