深度学习常用**函数

在感知器模型、神经网络模型、深度学习模型中均会看见**函数的声影。**函数又被称为转移函数、激励函数、传输函数或限幅函数，其作用就是将可能的无限域变换到一指定的有限范围内输出，这类似于生物神经元具有的非线性转移特性。

常用的**函数有：线性函数、斜坡函数、阶跃函数、符号函数、Sigmoid函数、双曲正切函数、Softplus函数、Softsign函数、Relu函数及其变形、Maxout函数等。

线性函数

线性函数是最简单的**函数：

y=F(x)=kx.

其中y为输出值，x为输入信号的加权和，k是一个常数，表示直线的斜率。

在深度学习模型中，线性函数几乎不被用到。因为其体现不出深度学习模型的价值，如假定深度学习模型有m层，则最终的输出为y=kmkm−1...k1x，其等价于单层的线性模型y=k′x（k′=kmkm−1...k1）的输出。

斜坡函数

斜坡函数的定义如下所示：

y=F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪r,x,−r,当x≥r当|x|<r当x≤−r

r和−r分别是处理单元的最大值和最小值，称为饱和值，一般|r|=1。

阶跃函数

阶跃函数属于硬限幅函数的一种：

y=F(x)={1,0,当x>0当x≤0

符号函数

符号函数也是属于硬限幅函数的一种，其是根据输入变量的正负情况决定输出，若输入变量为正，则输出1；若输入变量为负，则输出-1；输入变量为0时可为1或-1：

y=F(x)={1,−1,当x>0当x≤0

注：硬限幅函数虽说简单直观，但在深度学习中，很多时候将其应用在隐藏层意义不大，还会适得其反，因此其主要被应用在输出层。

Sigmoid函数

Sigmoid函数为S型函数的一种，函数的输出映射在(0,1)之间，单调连续，输出范围有限，优化稳定，并且求导容易（因深度学习在更新参数时，常采用梯度下降法，此时需要对**函数求导）。但由于其软饱和性，当|x|≫1时，y趋于0或1，导致其导数无限趋于0，容易产生梯度消失，此时会使训练出现问题。并且其输出并不是以0为中心的。

y=F(x)=11+e−x.

注： Sigmoid函数的导数为F′(x)=F(x)(1−F(x))。

双曲正切函数

双曲正切函数（tanh函数）也是S型函数的一种，Sigmoid函数存在的问题它基本上也都存在，不过相对于Sigmoid函数，它是原点对称的。而且在0周围，曲线变化趋势更陡，因此在训练过程中，权重每次更新的步长更大，能够更快地收敛到最优值（也可能是局部最优）。并且当s=0时有y=0，即同时具有双级输出。当要求输出(-1 1)范围的信号时，它常被采用。

y=F(x)=ex−e−xex+e−x.

注： tanh函数的导数为F′(x)=(1−F(x))2。

Softplus函数

Softplus被定义为：

y=F(x)=log(1+ex).

Softsign函数

Softsign函数被被定义为：

y=F(x)=x1+|x|.

Relu函数及其变形

ReLU是最近几年非常受欢迎的**函数。虽说Sigmoid和tanh效果不错，但是很容易出现梯度消失现象–当输入|x|较大时，梯度变得非常小，从而导致SGD收敛速度下降或者无法收敛。ReLU函数被定义为：

y=F(x)=max{0,x}.

不过ReLU也不是十全十美的，观察其定义便可以发现在x>0时，梯度恒为1，可以保证稳定的下降速度；可当x≤0时，梯度却恒为0。虽说这样的特性能强化神经网络的稀疏表达能力，但随着训练的进行，可能会出现神经元不可逆转的死亡，权重从此以后便无法更新。

为了缓解上面的问题，ReLU的变形LReLU、PReLU与RReLU应运而生。其基本思想均是，当x≤0时不再是恒为0输出，而是为其乘上一个比较小的系数α，因此**函数的定义变成：

y=F(x)=max{αx,x}.

在LReLU中，α固定为非常小的值。α的引入虽说可以避免梯度消失问题，但如何选择合适的α也是一件非常头疼的事情。通常都是通过先验知识人工赋值的。但有人观察到，损失函数对α的导数是可以求得的，因此可以将它作为一个参数进行训练，如同用梯度下降法训练各个层之间的权重。于是自适应PReLU方法被提出。

RReLU是LReLU的“随机”版本–α是随机的。核心思想就是在训练过程中，α是从一个高斯分布U(l,u)中随机生成的（α∼U(l,u),l<u,l,u∈[0,1]），然后在测试过程中进行修正。

Maxout函数

Maxout函数的定义如下：

y=F(x)=maxj∈[1,k]zj.

相当于在每个输出神经元前面隐藏地又多了一层。这一层有k个神经元，此时Maxout网络的输出为k个“隐隐层”神经元中的最大值。公式中zj的计算公式为：

zj=Wjx+wj0.

如果设置Maxout的参数k=5，Maxout层就如下所示：

上面左图显示的是传统的**策略，采用Maxout的时候，会发现参数个数成k倍增加。因为本来在第i层到第i+1层，单个输出神经元只对应一组参数，但现在却需要对此神经元同时训练k组参数，然后选择**值最大的作为**值。也有人在看到“隐隐层”的输入-输出映射关系时，会疑惑Maxout似乎等价于线性**函数，其实不然，因为在激发函数中有了max操作，所以整个Maxout网络其实是一种非线性的变换。

Maxout的拟合能力是非常强的，已有证明表明两层Maxout可以拟合任意的的凸函数。其实这块很好理解，首先是任意的凸函数都可以由分段线性函数以任意精度拟合，而Maxout又是取k个隐隐含层节点的最大值，这些”隐隐含层”节点也是线性的，所以Maxout**函数并不是一个固定的函数，它是一个分段线性函数。

简单总结一下

其实**函数的主要作用就是将输入进行线性或非线性映射，对于其范围没有限制，上面介绍的只是一些常见的，其他的如sinx、arctanx等也都可以。为什么在训练深度学习模型时常用ReLU、Sigmoid、tanh等函数，主要是在深度学习训练过程中，不宜使用过度复杂的函数，因为在参数优化时会增加求导及计算成本。

具体哪种**函数最优？目前还不存在定论。一般需要综合考虑各个**函数的优缺点，再结合自己的实际情况选择到底使用哪个。并且在一个模型中，不同层可以选定不同的**函数，如第一层选用ReLU函数、第二次选用Sigmoid函数、……、输出层选用线性函数。

参考资料

1. http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/50414467 深度学习（二十三）Maxout网络学习
2. http://www.cnblogs.com/rgvb178/p/6055213.html 浅谈深度学习中的**函数
3. https://item.jd.com/12128543.html 《深度学习》[美] Ian，Goodfellow，[加] Yoshua，Bengio，[加] Aaron Courville著