Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（6）—二次曲线的其他性质&不动点与直线

          二次曲线的其他性质&不动点与直线

  现在先介绍点、线和二次曲线之间的一种被称为配极的重要几何关系。

1.极点 一 极线关系

  点x$x$和二次曲线C$C$定义一条直线l=Cx$l=Cx$，l$l$称为x$x$关于C$C$ 的极线 ，而点x$x$ 称为l$l$ 关于C$C$ 的极点。

• 点x$x$关于二次曲线C$C$的极线l=Cx$l=Cx$与C$C$交于两点。C$C$的过这两点的两条切线相交于x$x$。其关系如下图：
          

图1极点—极线关系图$$图1极点—极线关系图$$

• 如果点x$x$在C$C$上 ， 则它的极线就是二次曲线过x$x$点的切线。

定义 1  对射是IP2$I{P}^2$点到IP2$I{P}^2$线的可逆映射并用一个 3X3 非奇异矩阵 A$A$表示为l=Ax$l=Ax$。

• 共轭点  如果点y$y$在极线l=Cx$l=Cx$上，则yTl=yTCx=0$y^{T}l=y^{T}Cx=0$。满足yTCx=0$y^{T}Cx=0$的任何两点x$x$，y$y$称关于二次曲线C$C$共轭。
• 如果x$x$在y$y$的极线上 ， 那么y$y$也在x$x$的极线上。

2.二次曲线的分类

二次曲线的射影标准形式

  任何二次曲线都射影等价于一个由对角矩阵表示的二次曲线。二次曲线D$D$最终被变为具有矩阵diag(ε1,ε2,ε3)$diag({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$的二次曲线，其中εi=±1${\epsilon }_i=\pm 1$或0$0$。

对角线	方程	二次曲线类型
(1,1,1)$(1,1,1)$	x2+y2+w2=0$x^2+y^2+w^2=0$	假二次曲线——无实点
(1,1,−1)$(1,1,-1)$	x2+y2−w2=0$x^2+y^2-w^2=0$	圆
(1,1,0)$(1,1,0)$	x2+y2=0$x^2+y^2=0$	单个实点(0,0,1)T$(0,0,1{)}^T$
(1,−1,0)$(1,-1,0)$	x2−y2=0$x^2-y^2=0$	两条直线x=±y$x=\pm y$
(1,0,0)$(1,0,0)$	x2=0$x^2=0$	单条直线x=0$x=0$计两次

二次曲线的仿射分类

  在欧氏几何中， (非退化或真)二次曲线可以分为双曲线、椭圆和抛物线。在射影几何中三种类型的二次曲线与l∞$l_{\mathrm{\infty }}$的关系如下图所示：
           

图2点二次曲线的仿射分类$$图2点二次曲线的仿射分类$$

  图2中，二次曲线是(a)$(a)$椭圆，(b)$(b)$抛物线，(c)$(c)$双曲线。它们与l∞$l_{\mathrm{\infty }}$的关系 :(a)$(a)$无实交点、(b)$(b)$相切(2 点接触)、(c)$(c)$有 2 个实交点。

3.不动点与直线

  变换的一个特征矢量对应一个不动点 ，因为对于特征值 λ$\lambda$ 及其对应的特征矢量e$e$有：

He=λe$$He=\lambda e$$

  而e$e$ 和 λe$\lambda e$表示同一点。类似的推导可以用于不动直线，它对应于HT$H^T$的特征矢量。

欧氏矩阵

  两个不动理想点是虚圆点I$I$，J$J$组成的复共轭对，相对应的特征值是：{eiθ,e−iθ}$\left\{\begin{array}{cc}{e}^{i\theta },& e^{-i\theta }\end{array}\right\}$,这里θ$\theta$是旋转角。对应予特征值l$l$ 的第三个特征矢量，称为极点。欧氏变换等价与绕该点转θ$\theta$角的纯旋转并且没有平移。
  一种特殊的情况是纯平移(即θ=0$\theta =0$) 。 这时特征值三重退化，穷远线点点不动，且有一束过点(tx，ty,0)T$(t_x，t_y,0{)}^T$的不动直线，该点对应于平移方向。

相似矩阵

  两个不动理想点仍是虚圆点，特征值是：{1seiθse−iθ}$\left\{\begin{array}{ccc}1& s{e}^{i\theta }& s{e}^{-i\theta }\end{array}\right\}$。相似变换的作用可以理解为绕它的有限不动点的旋转和取 s$s$ 为因子的均匀缩放。注意虚圆点的特征值仍然表征旋转角。

仿射矩阵

  两个不动理想点可以是实或复共轭的，但在任何一种情况下，过这些点的不动直线l∞=（0,0,1）T$l_{\mathrm{\infty }}=（0,0,1{）}^T$是实的。