向量空间：
向量空间Rn由所有的n维向量v组成，向量中的每个元素都是实数。
向量空间R2可以用xy平面来表示，其中的每个向量有两个元素，它们定义了平面上一个点的坐标。
向量空间的性质：
在一个向量空间中，如果我们将任意向量相加或者乘以一个标量，也就是任意向量的线性组合，它们的结果仍然在这个向量空间中。
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欧式空间：
欧几里得空间就是在对现实空间的规则进行抽象和推广（从n<=3推广到有限n维空间）
欧几里得几何就是中学学的平面几何、立体几何，在欧几里得几何中，平行线任何位置的间距相等。中学学的几何空间是二维空间和三维空间，如果将这些低维空间所总结的规律（余弦值、点间的距离、内积等）推广到有限的n维空间，那这些符合定义的空间则被统称为欧几里得空间。
以非欧空间来理解：
非欧几何，爱因斯坦曾经形象地说明过：假定存在一种二维扁平智能生物，但它们不是生活在绝对的平面上，而是生活在一个球面上，那么，当它们在小范围内研究圆周率的时候，会和我们一样发现圆周率是3.14159，可是，如果它们画一个很大的圆，去测量圆的周长和半径，就会发现周长小于2πr（它们测量的r是大于实际的r的，它们的r是弧线，不是直线），圆越大，周长比2πr小得越多，为了能够适用于大范围的研究，它们就必须修正它们的几何方法，如果空间有四维，而我们生活在三维空间中，而这个三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲，我们的几何就会像那个球面上的扁平智能生物一样，感受不到第四维的存在，但我们的几何必须进行修正，这就是非欧几何。在非欧几何中，平行的直线只在局部平行，就像地球的经线只在赤道平行。
这同样可以以一个另外的例子来说明，假设现在有一个弹性的平面，平面中间有两条平行线，这时手掌按压弹性的平面，平面下凹，这时两个直线向下的投影依然是平行的，但是这两个直线在三维空间已经变成了向下凹的部分上的两个弧线，显然不再平行。
闵可夫斯基空间属于欧几里得几何的拓展，它是把时间也作为一个维度进行量化，再添加光速系数，和洛伦兹变换一样，使得不同惯性系中的运动问题计算得以简化。
https://www.zhihu.com/question/27903807?sort=created
完备空间：
完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。
柯西序列是这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近，如下图所示：
柯西序列未要求收敛
希尔伯特空间：
我们一般接触的是线性空间（向量空间），首先看下线性空间和各种空间之间的关系：
- 线性空间又称作向量空间，关注的是向量的位置，对于一个线性空间，知道基，便可确定空间中元素的坐标（即位置）；线性空间只定义了加法和数乘运算
如果我们想知道向量的长度怎么办？–定义范数，引入赋范线性空间 - 赋范线性空间
这个就是定义了范数的线性空间
如果我们想知道向量的夹角怎么办？–定义内积，引入内积空间 - 内积空间
这个就是定义了内积的线性空间 - 欧式空间
定义了内积的有限维实线性空间
如果我们想研究收敛性（极限）怎么办？–定义完备 - Banach空间
完备的赋范线性空间 - Hilbert空间
完备的内积空间
希尔伯特空间上所有的柯西列都等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
这些空间的关系如下图所示：
https://www.zhihu.com/question/19967778/answer/184073198