【深度学习入门—2015MLDS】2. Neural Network(Basic Ideas)

神经网络基础

---

（预警：本节开始涉及数学符号及必要的微积分、线性代数运算）

本节概要

在上一讲中已经提到，“学习”就是要让计算机自动去实现一个复杂函数，完成从输入X到输出Y的映射。机器学习的基本框架如下图所示。

本节将从神经网络的角度，应用这个框架。

首先要定义假设函数集合（function hypothesis set），又称模型（model），然后根据输入数据做训练，去找到一个“最好”的函数f∗。最后用它对测试数据做测试。

要解决的三个问题：
1. What is the model？（这个模型是什么样子的）
2. What is the “best” function？（如何定义“最好”）
3. How to pick the “best” function？（如何找到这个目标函数）

本节应用的任务的是分类(classification)问题，即预测输入是已知类别中的哪一类，对应的是离散的输出变量。

• 二分类问题（Binary Classification）
  
  • 垃圾邮件过滤（是不是垃圾邮件）
  • 推荐系统（该商品需不需要推荐给该用户）
  • 恶意软件检测（该软件是否存在恶意操作）
  • 股票预测（股票是涨还是跌）
• 多分类问题（Multi-class Classification）
  
  • 手写数字识别（图片写的是哪一个数字）
  • 图像识别（图片里的物体是什么）

---

一. What is the model（function hypothesis set）？

换句话说，网络结构长什么样？

对于分类问题，我们要找到这样的y=f(x)，其中x是待分类的对象，y是该对象所属类别，并假设x和y各自都是固定长度的向量（fixed-size vector），即x⊆RN,y⊆RM.

以手写数字识别为例，二值图像可以统一调整成16*16的大小。输入向量的每一维表示每个像素是0还是1；输出向量用one-hot 表示，即对应类别的那一维标记为1，其余类别标记为0。

回到我们要解决的问题，如果只用单层神经元，那么连异或这种简单的逻辑操作都很难完成，此处省略证明过程，所以引入多个隐藏层的神经网络。

神经网络作为模型

全连接前馈网络

最常用的神经网络架构——全连接前馈网络（Fully Connected feedforward network）如上图所示，通常又称深度神经网络（Deep Neural Network，因其隐层数目多而冠上“Deep”）。

每一层的每一个节点都用前一层所有节点的输出做权重和（weighted sum）后作为输入，经自身的激励函数加工后，产生输出给下一层。

神经网络的数学标记

规定以下标记用于描述DNN（非常重要！）：

• 第l层神经元的数目Nl，除权重外，上标l代表该神经元所在的层次，下标i代表是该层的第几个神经元。
• 两个神经元之间的权重wlij，下标ij代表从第l−1层的第j个神经元通向第l层的第i个神经元，上标l代表后者所在层次。
  
  • 这样定义看上去很奇怪，但其实是为了赋予权重矩阵Wl和向量x所做的乘法的意义，很巧妙。
• 神经元的偏置biasbli，第l层神经元的所有bias构成向量bl
• 神经元的输入zli。第l层神经元的所有输入构成向量zl。定义
  zli=∑j=1Ni−1wlijal−1j+bli
• • 神经元的输出ali，第l层神经元的所有输出构成向量al。定义ali=σ(zli)，其中σ(·)为激励函数。

注意仔细观察下面几张图！

单个神经元涉及的标记。

相邻层次涉及的标记（前）。

相邻层次涉及的标记（后）。

函数总览

至此，我们就定义好了我们的model的样子，即DNN式的网络结构。

但是大量参数就意味着无穷大的假设函数空间，那么我们怎么从假设函数空间里找到我们所需要的那个函数呢？接下来就要解决这个问题。

---

二. What is the “best” function？

由于不同的参数W和b决定了我们最终不同的函数，因此要找最好的函数<=>找最优的参数集合。

定义函数f(x;θ)， 其中x是函数的输入，θ是函数中涉及的所有参数W和b的集合，随着参数值的变化，这样的函数构成了我们的假设函数空间，因此学习f∗<=>学习θ∗。

代价函数

定义代价函数(Cost Function)为C(θ)，它以参数集合θ作为输入，输出的实数值衡量这组参数“不好”的程度，值越大意味着参数越糟糕。又称为损失函数(loss function)、误差函数(error function)。

那么我们的问题就转化为搜索所有的参数θ，找到一组θ∗，满足

θ∗=argminC(θ)

实际上，代价函数的真正数学定义与我们的任务高度相关（task-dependant），不同的任务应当采取对应的代价函数。

多分类问题中常用的代价函数形式如下图所示。

在这里，代价函数衡量的就是对于所有样本，模型的输出f(xr;θ)和真实的标记y^r的距离之和。

---

三. How to pick the “best” function？

梯度下降

定义完衡量参数的指标，接下来就是对参数调整来寻找最佳参数，那要如何进行调整呢？

如果用暴力搜索，那么需要穷举所有可能的θ，但是这样做要计算到猴年马月，所以显然是不可能完成的任务。

实际的解决方法就是著名的梯度下降（Gradient Descend）。

先以单变量为例来看梯度下降的概念。

直观地理解：将一枚小球放在曲线的初始位置，那么小球收到重力的影响就会沿着当前最陡峭的下降方向往下滚，直到稳定在一个“坑”里。其中曲线相当于受自变量θ影响的函数值C(θ)，最陡峭的下降方向就称为梯度（gradient），稳定的“坑”就称为局部最小值（local minima）。高等数学里的知识告诉我们，让函数曲线对该单变量求导，就可以算出斜率，就是我们要找的梯度。

对于参数优化问题，首先随机选择一组θ0，找到(θ0,C(θ0))，然后计算dC(θ0)dθ。第一次更新时，让θ0−η∗dC(θ0)dθ成为新的θ1。重复上述迭代的步骤，直到θ不再发生变化。

对于多变量的情况，只是把求导换成了对各个变量依次求偏导，再同时更新参数。

上面提到的η叫做学习率（learning rate），即用梯度更新参数时的幅度，η越大则更新时迈出的步伐越大。（非常重要的参数！！！）

接着是用泰勒展开来证明梯度下降的严格推导，这里就不再展开。

总之，在我们搭建的神经网络里，我们要更新的θ就是所有参数W和b的集合。

由于涉及大量的参数，要实现高效的计算梯度并更新，就要使用反向传播算法（backpropagation，BP）。（在之后会详细解释）

这里留下了一个问题，当C(θ)的值卡在极小值点处，或者鞍点（saddle point）时，该点的导数值为0，不对参数进行更新，但实际上并没有达到我们的目标。关于这个问题的讨论留到后面的几节里。

训练时的实战技巧

参数初始化

参数的初始化（parameter initialization）确实会影响梯度下降的性能，但目前入门阶段，我们只要随机赋值即可，但不要把全部参数都初始化成一模一样的值。

学习率的调整

上面提到，学习率是决定模型能否正常收敛，以及最终模型好坏的非常重要的因素。

比较理想的情况是，学习率能随着迭代次数的递进而变化。但是对于入门阶段，李老师的建议是，用尝试的方法仔细调整这个超参数。

从左边这张图上我们看到，随着迭代的进行：

• 当η过大时，更新太剧烈，代价函数的值直接越过我们期望的最小值（error surface上的谷底），代价只会越来越大；
• 当η偏大时，代价函数的值虽然会很接近最小值，但是依然在“谷底”两侧震荡，进入不了谷底。
• 当η偏小时，更新太缓慢，代价函数呈递减趋势，虽然会不断逼近且成功到达最小值，但是需要大量的迭代计算，收敛速度较慢。
• 当η合适时，更新幅度比较理想，既保证了能顺利收敛，而且收敛速度也比较快。

举例：双变量代价函数在不同学习率下的梯度下降图示：

随机梯度下降和mini-batch

优化的万能药

未完待续。。。

---