为什么要做主成分分析
在很多场景中需要对多变量数据进行观测，在一定程度上增加了数据采集的工作量。更重要的是：多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性。
如果对每个指标进行单独分析，其分析结果往往是孤立的，不能完全利用数据中的信息，因此盲目减少指标会损失很多有用的信息，从而产生错误的结论。
因此需要找到一种合理的方法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的。由于各变量之间存在一定的相关关系，因此可以考虑将关系紧密的变量变成尽可能少的新变量，使这些新变量是两两不相关的，那么就可以用较少的综合指标分别代表存在于各个变量中的各类信息。主成分分析与因子分析就属于这类降维算法。
PCA的主要思想是将n维特征映射到k维上，这k维是全新的正交特征也被称为主成分，是在原有n维特征的基础上重新构造出来的k维特征
主成分分析法的步骤
对于如何找到一个轴，使得样本空间的所有点映射到这个轴的方差最大。
第一步：样本归0
将样本进行均值归0（demean），即所有样本减去样本的均值。样本的分布没有改变，只是将坐标轴进行了移动
此时对于方差公式：
其中此时计算过程就少一项，这就是为什么要进行样本均值归0，可以化简的更加方便。
第二步：找到样本点映射后方差最大的单位向量
求一个轴的方向w=(w1,w2)需要定义一个轴的方向w=(w1, w2),使得我们的样本，映射到w以后，使得X映射到w之后的方差最大：