滤波器的设计（二）

这篇博文以最简单的一阶低通滤波器为例，来叙述一个滤波器从设计到嵌入式实现的过程：

对于一个一阶低通滤波器，其控制模型就是一个简单的惯性环节，写成传递函数的形式： $H(s)= \frac {1} {Ts+1}$ ， $T$ 为时间常数，令 $\frac {1}{T}=w_c$ ， $w_c$ 为截止频率，单位为 $rad/s$ ，令 $2\pi f_c=w_c$ ，截止频率 $f_c$ 的单位为 $hz$ 。

我们令这个低通滤波器的截止频率为25hz，画出其bode图如下：

滤波器的设计（二）

可以看到，幅值下降 $-3dB$ 处，对应截止频率 $25hz$ ；我们现在得到了一个简单的一阶低通滤波器的传递函数表达，接下来需要对上述滤波器进行离散化处理(z变换)，以便在嵌入式平台实现，通过上一节我们知道z变换有很多种方法，但是对低通滤波器来说，一般使用一阶向后差分，其表达形式如下：

$s=\frac{1-z^{-1}}{T_s}$

带回可得：

$H(z)=\frac{ S_{out}(z)}{S_{in}(z)}=\frac{T_s}{\frac{1-z^{-1}}{2\pi f_c}+T_s}$

令 $RC=\frac{1}{2\pi f_c}$ ，整理可得：

$S_{out}(z)=\frac{ RC}{ RC+T_s } S_{out}(z)z^{-1}+\frac{T_s}{RC+T_s} S_{in}(z)$

即：

$S_{out}(n)=\frac{ RC}{ RC+T_s } S_{out}(n-1)+\frac{T_s}{RC+T_s} S_{in}(n)$

令 $\frac{T_s}{RC+T_s}=a$ 则有：

$S_{out}(n)= aS_{in}(n)+ (1-a)S_{out}(n-1)$

下面是PX4中的一阶低通滤波器实现源码：

float BlockLowPass::update(float input)
{
       if(!PX4_ISFINITE(getState())) {
           setState(input);
       }
       float b = 2 * float(M_PI) * getFCut() * getDt();
       float a = b / (1 + b);
       setState(a* input + (1 - a)*getState());
       return getState();
}

滤波效果测试：
令输入信号为 $y=y_1+y_2+y_3$ ，且
$y_1=2sin(2\pi f_{c1}t)$
$y_2=3.5sin(2\pi f_{c2}t)$
$y_3=5sin(2\pi f_{c3}t)$
$f_{c1}=5hz,f_{c2}=35hz,f_{c3}=45hz$ 采样频率取100hz，则对该信号滤波前后的效果图如下所示：

滤波器的设计（二）
频谱图如下所示：

可以看到，频率大于截止频率的信号幅值得到了衰减，这表明惯性滤波器可以较好的滤除掉信号中的高频部分，但是它的缺点也很明显：高频段幅值下降的不够快，并且有较大的相位滞后