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最开始我们就提到了，曲线下微小的矩形是“微分”：
把这些“微分”加起来就是“积分”，就可以得到曲线下的面积：
上一章定义了极限，解决了微积分中的第一个问题，什么是“ 无限接近0”：
下面我们开始研究数学上什么是“微分”，怎么把“微分”加起来完成“积分”。
1 积分
比如要求 ，在
下的面积：
把 平均分成
份，每份长为
：
这些点的坐标是这么一个数列（把 点去掉）：
点之间的间隔为 ，所以上述数列可以简写为：
以这些坐标为终点，宽为 ，高为
作矩形：
每个矩形面积为 ，它们的面积和为：
已知其中的级数：
所以上面的式子继续算下去：
因为 ，代入上式可得：
当 的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：
从数学上就是，曲面下面积 为：
在极限的帮助下，算出了曲面下的面积。
2 新的开始
既然得到了曲面下的面积了，是不是微积分课程完了？并没有，实际上刚刚开始。
2.1 计算复杂
上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。
博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里（1598 －1647），意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法，那时候还没有极限，他是直觉地认为当 足够大时：
把矩形面积加起来就需要计算级数（级数就是数列的和），但级数的计算往往很复杂。
这种计算方法简单粗暴，比如，想求正弦函数曲线下 之间的面积，也可以通过矩形和来计算，但是计算起来并不简单（详细计算步骤可以查看这里）：
欧拉就是一个级数计算大师，当时很多数学家求“积分”时，算不出级数就向欧拉求救，所以有句话是这么说的：“欧拉，他是所有人的老师”（出自另外一位数学家拉普拉斯之口）。
2.2 不够抽象
之前说了，可以用内接多边形来逼近圆的面积：
也可以换个思路，用小三角形的和来逼近圆的面积：
“圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工，但毕竟三角形和矩形还是不一样，能否把这两者统一起来？
还有，能不能用微积分来计算一段曲线的长度（马上就可以看到如何去做）：
例子可能举得还不够好、不够多，但可以看出目前所学的微积分还不够抽象，不足以解决更多问题。
2.3 小结
不管是为了计算更加简便，还是为了扩大微积分的应用范围，我们都需要开始新的学习。
3 微分
不管为了计算的便利性，还是覆盖更多的应用场景，都需要把“微分”这个概念抽象出来。
3.1 矩形微分
比如，想求 区间内
曲线下的面积
：
把 平均分成
份，每份长为
，每个
对应一个
：
很显然：
从里面随便选一份，为了表示一般性，其面积记为 ：
在同样的位置，以 为底、
为高作矩形，其面积记为
：
很显然，随着 ，
与
会无限接近：
实际上两者都是无穷小：
与
有各自的名字（命名的来由可以查看这里）：
“微分”是对“差分”的近似，以“直”代“曲”（“微分”就是“直”，“差分”就是“曲”），也叫做线性近似：
在极限下有（因为 ，所以
相当于
）：
其中， 对应之前的
。
稍微总结下：
3.2 三角形微分
要求圆的面积 ：
同样的可以把它均分为 个扇形：
很显然，也可以用三角形去近似这些扇形：
这里，小扇形就是“差分”，小三角形就是“微分”，以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。
3.3 切线微分
要求这条曲线的长度：
可以把它均分为 个曲线段：
也可以用切线段（切线之后就会介绍）来近似这些曲线段：
划分细点的话，更容易看出两者的相似性：
这里，曲线段就是“差分”，切线段就是“微分”，以切线段的“直”去代替曲线段的“曲”。
3.4 小结
“微分”是“差分”的线性近似，是对“以直代曲”思想的数学表达。
有了“微分”之后，上述几种“积分”（包括面积、曲线长度等）就可以统一表示为：
上述几种“微分”的严格定义不尽相同，这里暂不给出，后面不断完善。
最新的文章请查看这里（可能有后续更新）：微分是什么？