卡尔曼滤波_基础

  先上公式：

  在一个离散控制过程的系统中，假设该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：
                  $x_k=Ax_{k-1}+Bu_{k-1}+w_{k-1}$xk​=Axk−1​+Buk−1​+wk−1​。
其中x是系统的状态向量，大小为n* 1列；A为转换矩阵，大小为n* n；u为系统输入，大小为k* 1；B是将输入转换为状态的矩阵，大小为n* k；随机变量w为系统噪声（高斯白噪声，均值为0，方差为Q）。再加上系统测量值：
                      $z_k=Hx_k+v_k$zk​=Hxk​+vk​。
其中z是测量值，大小为m* 1；H是状态变量到测量的转换矩阵，大小为m*n；随机变量v是测量噪声（高斯白噪声，均值为0，方差为R）。这些测量值是由系统状态变量映射出来的。对于满足以上线性随机微分系统、过程和测量都是高斯白噪声两个条件的滤波问题，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

  卡尔曼滤波是一种递归过程，主要有预测和更新两个步骤。其中预测包括状态预测和协方差预测，主要是对系统状态的预测。更新包括计算卡尔曼增益、状态更新和协方差更新。因此整个递归过程包括五个方面的计算：1）状态预测；2）协方差预测；3）卡尔曼增益；4）状态更新；5）协方差更新。具体公式在文章顶部。
  正如卡尔曼滤波的步骤，卡尔曼滤波的核心也就是预测+测量反馈。本人认为的一种好的理解卡尔曼滤波的方式是，根据系统所给的参数、k-1时刻的系统观测值，预测k时刻的系统状态分布是一种高斯分布；根据k时刻系统观测值得到的k时刻的系统状态分布也是一种高斯分布，这两种分布存在交集，卡尔曼滤波就是从这两种分布中得到的新的高斯分布，求得最优估计值。换一种说法，在多元高斯分布中，各个变量服从高斯分布，每个变量都有一个均值 μ，表示随机分布的中心（最可能的状态），以及方差$\sigma ^{2}$σ2，表示不确定性。理论预测值属于先验信息，而观测值属于后验信息，卡尔曼滤波基于最小均方差，从先验、后验信息中求得最优估计。

附上几篇参考的博文，都非常不错：
国外某大神形象的分析卡尔曼滤波
卡尔曼滤波的推导