高数下学习笔记

想了想还是写篇博客记录一下吧，都期末了，刚开始学… …

第一章 向量代数与空间解析几何

1.1 向量及其线性运算

向量:有大小和方向的量称为向量（矢量）
单位向量：模为1的向量，记作$\vec{e}$e
零向量：模为0的向量，记作$\vec{0}$0
相等向量：若向量$\vec{a}$a，$\vec{b}$b方向相同，模相等，则$\vec{a}$a与$\vec{b}$b相等，记作$\vec{a}=\vec{b}$a=b
平行（共线）向量：若向量$a$a，$b$b方向相同或相反，则$\vec{a}$a与$\vec{b}$b平行，记作$\vec{a}//\vec{b}$a//b
负向量：若$\vec{a}$a，$\vec{b}$b大小相同，方向相反，则称$\vec{a}$a为$\vec{b}$b的负向量
tips：零向量与任何向量平行**
向量的加法：平行四边形法则、三角形法则（首位相连）

1.2 空间直角坐标系与向量坐标

在空间直角坐标系中，任意向量都可用OM（M为空间中一点）表示，通常用$\vec{i}$i、$\vec{j}$j​、$\vec{k}$k表示x、y、z轴方向上的单位向量
利用坐标做向量的线性运算：设$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$a=(ax​,ay​,az​)，$\vec{b}=（b_x,b_y,b_z)$b=（bx​,by​,bz​)，$\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$a+b=(ax​+bx​,ay​+by​,az​+bz​)
平行向量对应坐标成比例

1.3 向量的模方向余弦

向量模长的计算：$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$a=(ax​,ay​,az​)，则$|a|=\sqrt[2]{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$∣a∣=2ax2​+ay2​+az2​​
空间两点的距离公式：$A=(x_1,y_1,z_1)$A=(x1​,y1​,z1​)，$B=(x_2,y_2,z_2)$B=(x2​,y2​,z2​),$|AB|=(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2})$∣AB∣=((x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2+(z1​−z2​)2​)
方向角：有向量$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$a=(ax​,ay​,az​)，向量$a$a与$x$x轴的夹角为$\alpha$α，与$y$y轴的夹角为$\beta$β，与$z$z轴的夹角为$\gamma$γ，则称$\alpha$α、$\beta$β、$\gamma$γ为向量的方向角，$\cos\alpha$cosα、$\cos\beta$cosβ、$\cos\gamma$cosγ为向量的方向余弦。显然有$\cos\alpha=\frac{a_x}{|\vec{a}|}、\cos\beta=\frac{a_y}{|\vec{a}|}、\cos\gamma=\frac{a_z}{|\vec{a}|}$cosα=∣a∣ax​​、cosβ=∣a∣ay​​、cosγ=∣a∣az​​。例题：

投影：设$\vec{a}$a与$u$u轴的夹角为$\alpha$α，那么$\vec{a}$a在$u$u轴上的投影为$|\vec{a}|\cos\alpha$∣a∣cosα，记作$(\vec{a})_u$(a)u​

1.4 数量积的概念与运算

概念：设$\vec{a}$a与$\vec{b}$b夹角为$\alpha$α，则称$|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}$∣a∣∣b∣cosα为$\vec{a}$a与$\vec{b}$b的数量积，也称为点积。

1.5 数量积及计算例题

略

1.6 向量积的概念与运算

概念：设$\vec{a}$a与$\vec{b}$b夹角为$\alpha$α，$\vec{c}$c为$\vec{a}$a与$\vec{b}$b的向量积，那么$\vec{c}$c满足：
1.$\vec{c}\perp\vec{a},\vec{c}\perp\vec{b}$c⊥a,c⊥b且符合右手规则。
2.模$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\alpha}$∣c∣=∣a∣∣b∣sinα
tips：叉积不满足交换律：$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$a×b=−b×a
向量积的行列式求法：有$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$a=(ax​,ay​,az​)，$\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$b=(bx​,by​,bz​)，则$\vec{a}\times\vec{b}$a×b为下方行列式的结果

1.7 向量积及计算例题

略

1.8 平面的点法式方程

法（法线）向量：如果一个非零向量垂直于一平面，那么这个向量被叫做该平面的法线向量
点法式方程：一个平面经过已知点$A(x_0,y_0,z_0)$A(x0​,y0​,z0​)，且垂直于$\vec{n}=(A,B,C)$n=(A,B,C)。设$B(x,y,z)$B(x,y,z)，$\vec{AB}={(x-x_0,y-y_0,z-z_0)}$AB=(x−x0​,y−y0​,z−z0​)，由$\vec{AB}\perp\vec{n}$AB⊥n可得该平面的点法式方程：$A\times(x-x_0)+B\times(y-y_0)+C\times(z-z_0)=0$A×(x−x0​)+B×(y−y0​)+C×(z−z0​)=0
$\vec{n}$n称为平面的法向量
tips：有定义可得，如果存在一个平面的点法式方程为$Ax+By+Cz+D=0$Ax+By+Cz+D=0，那么可以直接写出该平面的法向量：$\vec{n}=(A,B,C)$n=(A,B,C)

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