那如果让你证明你会吗？
我不会
如果用定义会很麻烦，这里用到的都是反函数，就想到了反函数求导法则
反函数的导数
- y = f ( x ) 是 x = ψ ( y ) y=f(x)是x=\psi(y) y=f(x)是x=ψ(y)的反函数
- 若
ψ
(
y
)
\psi(y)
ψ(y)满足：
- ①在 y 0 y_0 y0的某邻域内连续
- ②严格单调
- ③ ψ ′ ( y 0 ) ≠ 0 \psi'(y_0)\ne0 ψ′(y0)=0
- 则 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 ( x 0 = ψ ( y 0 ) x_0(x_0=\psi(y_0) x0(x0=ψ(y0)处可导，且 f ′ ( x 0 ) = 1 ψ ′ ( y 0 ) f'(x_0)=\frac1{\psi'(y_0)} f′(x0)=ψ′(y0)1
证明
- 要证明： lim △ x → 0 △ y △ x = lim △ y → 0 1 △ x △ y \lim_{\triangle x\to 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle y\to 0}\frac1{\frac{\triangle x}{\triangle y}} △x→0lim△x△y=△y→0lim△y△x1其中 △ x = ψ ( y 0 + △ y ) − ψ ( y 0 ) \triangle x=\psi(y_0+\triangle y)-\psi(y_0) △x=ψ(y0+△y)−ψ(y0) △ y = f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) △y=f(x0+△x)−f(x0)
- 现在要证明 △ x → 0 ⇔ △ y → 0 \triangle x\to 0 \Leftrightarrow \triangle y\to 0 △x→0⇔△y→0
- 这就用到了第二点那一堆苛刻的条件啦
- ∵ ψ \psi ψ在 y 0 y_0 y0的某邻域内连续+严格单调
- ∴ f = ψ − 1 f=\psi^{-1} f=ψ−1在 x 0 x_0 x0的某邻域内连续且严格单调
- 于是当且仅当 △ y = 0 \triangle y=0 △y=0时， △ x = 0 \triangle x=0 △x=0
- 也当且仅当 △ y → 0 \triangle y\to0 △y→0时， △ x → 0 \triangle x\to0 △x→0
- 由于 ψ ′ ( y 0 ) ≠ 0 \psi'(y_0)\ne 0 ψ′(y0)=0，有 f ′ ( x 0 ) = lim △ x → 0 △ y △ x = lim △ y → 0 △ y △ x f'(x_0)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle y\to0}\frac{\triangle y}{\triangle x} f′(x0)=△x→0lim△x△y=△y→0lim△x△y = 1 lim △ y → 0 △ x △ y = 1 ψ ′ ( y 0 ) =\frac1{\lim\limits_{\triangle y\to0}\frac{\triangle x}{\triangle y}}=\frac1{\psi'(y_0)} =△y→0lim△y△x1=ψ′(y0)1
然后上面的题就好证明多啦！
举个例子
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(arcsinx)′=1−x2
1
- y = arcsin x , x = sin y y=\arcsin x,x=\sin y y=arcsinx,x=siny
- ( arcsin x ) ′ = 1 ( sin y ) ′ = 1 cos y = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac1{\cos y}=\frac1{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=(siny)′1=cosy1=1−x2 1