三维点云处理技术三：三维空间变换

三维点云处理技术三：三维空间变换

• 刚体运动变换
• 旋转矩阵推导与性质
• 坐标系旋转
• 欧拉角
• 旋转矩阵的轴角
• 四元数
• 刚体运动变换总结：
• 空间几何变换

来源：睿慕课《三维点云处理技术和深度学习在三维点云处理中的应用》

刚体运动变换

表示旋转变换的参数形式：旋转矩阵，轴角，欧拉角和四元数。

旋转矩阵推导与性质

两个坐标系a和b,坐标系b各个坐标轴$b_1、b_2、b_3$b1​、b2​、b3​在坐标系a中的表示为：
$b_1=R_{11}a_1+R_{21}a_2+R_{31}a_3$b1​=R11​a1​+R21​a2​+R31​a3​
$b_2=R_{12}a_1+R_{22}a_2+R_{32}a_3$b2​=R12​a1​+R22​a2​+R32​a3​
$b_3=R_{13}a_1+R_{23}a_2+R_{33}a_3$b3​=R13​a1​+R23​a2​+R33​a3​
旋转矩阵$R_B^A$RBA​
$R_B^A=[b_1,b_2,b_3]=\begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{bmatrix}$RBA​=[b1​,b2​,b3​]=⎣⎡​R11​R21​R31​​R12​R22​R32​​R13​R23​R33​​⎦⎤​
同一点P，在b坐标系下的表示为$P_B(P_{b1},P_{b2},P_{b3})^T$PB​(Pb1​,Pb2​,Pb3​)T,在a系下的表示为$P_A(P_{a1},P_{a2},P_{a3})^T$PA​(Pa1​,Pa2​,Pa3​)T,根据坐标的定义有：
$P_{A} = P_{b1}b_1 + P_{b2}b_2 +P_{b3}b_3=R_B^AP_B$PA​=Pb1​b1​+Pb2​b2​+Pb3​b3​=RBA​PB​
总结： $旋转矩阵R_B^A每一列代表B坐标系的坐标轴在A系中的表示，也表示B坐标系在A系中的旋转，同时该旋转矩阵能将B系的坐标点转换到A系$旋转矩阵RBA​每一列代表B坐标系的坐标轴在A系中的表示，也表示B坐标系在A系中的旋转，同时该旋转矩阵能将B系的坐标点转换到A系
旋转矩阵的性质：
1,正交性
2,乘法封闭
3,旋转矩阵的逆也是旋转矩阵
4,$RR^T=I$RRT=I

坐标系旋转

1，绕z轴旋转$\psi$ψ角:
$R_{z,\psi}=\begin{bmatrix} \cos (\psi) & -\sin (\psi) & 0 \\ \sin (\psi) & \cos(\psi) & 0 \\ 0& 0& 1\end{bmatrix}$Rz,ψ​=⎣⎡​cos(ψ)sin(ψ)0​−sin(ψ)cos(ψ)0​001​⎦⎤​

$R_{z,\psi}$Rz,ψ​ 可以将变换后坐标系(图中蓝色)中的点转换到原来坐标系(图中红色)中。
2，绕y轴旋转$\theta$θ角：
$R_{y,\theta}=\begin{bmatrix} \cos (\theta) & 0 & \sin (\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta)& 0& \cos (\theta) \end{bmatrix}$Ry,θ​=⎣⎡​cos(θ)0−sin(θ)​010​sin(θ)0cos(θ)​⎦⎤​

3，绕x旋转$\phi$ϕ角度
$R_{x,\phi}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos (\phi) & -\sin (\phi) \\ 0& \sin (\phi)& \cos (\theta) \end{bmatrix}$Rx,ϕ​=⎣⎡​100​0cos(ϕ)sin(ϕ)​0−sin(ϕ)cos(θ)​⎦⎤​

4，符合旋转：右乘联体左乘基(联体是指旋转后的坐标系，基是指开始时候的固定坐标系)

5，向量旋转：

总结：旋转矩阵可以表示将A系中的向量、点旋转到新的位置，也可以表示从A系到B系的旋转，还可以将B系的坐标点转换到A系下。
6，齐次变换：
$P_A=R_B^AP_B+O_B^A$PA​=RBA​PB​+OBA​
齐次形式$\begin{bmatrix} P_A\\1\end{bmatrix}=T_B^AP_B=\begin{bmatrix} R_B^A&O_B^A\\0&1\end{bmatrix}$[PA​1​]=TBA​PB​=[RBA​0​OBA​1​]

欧拉角

欧拉角：任何旋转都可以用3个线性无关轴的连续旋转来描述。

欧拉角存在的奇异值-万向节死锁

旋转矩阵的轴角

可以将任何一个旋转视为绕某一旋转轴旋转一定的角度

四元数

为了避免万向节死锁问题，工程师发明了四元数来表示旋转
四元数定义：$q=[a,b,c,d]=[\cos \frac{\theta}{2},r\sin \frac {\theta}{2}]$q=[a,b,c,d]=[cos2θ​,rsin2θ​],a为实部，b,c,d为虚部。
$r、\theta$r、θ分别表示旋转轴和旋转角度
共轭：$\bar{q}=[\cos \frac{\theta}{2},-r\sin \frac {\theta}{2}]$qˉ​=[cos2θ​,−rsin2θ​]
模：$||q||=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=1$∣∣q∣∣=a2+b2+c2+d2​=1
逆：$q^{-1}=\frac {\bar q}{||q||}$q−1=∣∣q∣∣qˉ​​
乘法：

用四元数对向量进行旋转：
$p=[x,y,z]^T,p_a=[0,x,y,z]^T$p=[x,y,z]T,pa​=[0,x,y,z]T
$p^{'}=Rp=q*p_a*q^{-1}$p′=Rp=q∗pa​∗q−1
四元数与旋转矩阵：

刚体运动变换总结：

空间几何变换

消失点
二维空间几何变换：

三维空间几何变换：