贝叶斯定理简单理解

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

$P(AB)=P(B)*P(A|B)=P(A)*P(B|A)$

同理多变量也满足该公式

$P(ABC)=P(BC)*P(A|BC)=P(C)*P(B|C)*P(A|BC)$

多层迭代

$P(AB_1B_2...B_n)=P(B_n)*P(B_{n-1}|B_n)*P(B_{n-2}|B_nB_{n-1})...P(A|B_n B_{n-1}...B_1)$

$P(AB_1B_2...B_n)=P(A)*P(B_1|A)*P(B_2|AB_1)...*P(B_n|A_1B_1B_2..B_{n-1})$

假设 $A_1,A_2...A_n$ 为完备事件组， $U_{i=1}^{n}A_i=S$ （S为全集）， $AiAj=\empty$ （即i与j事件不会同时发生）, $P_i>0$ （任意事件发生的概率大于0）， $B\subseteq S$ ,求 $P(A_i|B)$ 的概率：

贝叶斯定理简单理解

$P(A_i|B)=\displaystyle\frac{P(A_iB)}{P(B)}$

由于 $P(A_iB)=P(A_i)*P(B|A_i)$

$P(B)=\sum P(BA_j)=\sum P(A_j)*P(B|A_j)$

故：

$P(A_i|B)=\displaystyle\frac{P(A_j)*P(B|A_j)}{\sum P(A_j)*P(B|Aj)}$

某工厂有四条流水线生产同一产品，四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，又知这四条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02。现从出厂产品中任取一件，求恰好取到不合格品的概率。

设抽到某条流水线事件为Ai,则:

$P(A_1)=0.15, P(A_2)=0.2, P(A_3)=0.3, P(A_4)=0.35$

抽到不合格品的概率为B,且该合格品属于Ai的概率为 $P(B|A_i)$ ，则：

$P(B|A_1)=0.05， P(B|A_2)=0.04，P(B|A_3)=0.03， P(B|A_4)=0.02$

求P(B)

$P(B)=\sum P(A_jB)=\sum P(A_j)*P(B|A_j)=0.15*0.05+0.2*0.04+0.3*0.03+0.35*0.02=0.0315$

两个一摸一样的碗，1号碗里30个巧克力和10个水果糖，2号碗里20个巧克力和20个水果糖。然后把碗盖住，随机选择一个碗，从里面摸出一个巧克力。
问题：这颗巧克力来自1号碗的概率是多少？

解：设1号碗摸出巧克力的事件为事件A,P(A)=3/4，设2号碗摸出巧克力的概率为事件B，P(B)=1/2

摸中1号碗与2号碗的概率均为1/2。

摸到巧克力，且来自1号碗，该概率为：

P(B|C) = $\displaystyle(\frac{1}{2}*\frac{3}{4})/(\frac{5}{8})$ = $\displaystyle\frac{3}{5}$

解法2：

设从i号碗摸的事件为Ai,，显然：
$P(A_1)=P(A_2)=\displaystyle\frac{1}{2}$

设摸出巧克力的事件为B,显然：

$P(B|A_1)=\displaystyle\frac{3}{4}, P(B|A_2)=\displaystyle\frac{1}{2}$

根据全概率公式，求P(B),

$P(B)=\sum P(B|A_i)*P(Ai)=\displaystyle\frac{1}{2}*\frac{3}{4}+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$

根据贝叶斯公式，求P(A1|B)

$P(A_1|B)=\displaystyle\frac{P(B|A_1)*P(A_1)}{P(A1)}=\displaystyle(\frac{1}{2}*\frac{3}{4})/(\frac{5}{8})=\frac{5}{8}$