数字信号处理4：采样定理

文章目录

• 1. 卷积定理
• 2. 采样定理推导
• 3. 傅里叶变换的频域标度

采样定理又称奈奎斯特定理，它规定了连续信号抽样成为离散信号时的采样率与信号最大频率之间的关系，那就是：

对于连续信号$x(t)$x(t)进行抽样时，抽样信号的最小频率$p(t)$p(t)的频率要大于$x(t)$x(t)的最大频率的2倍，采样得出的信号$x[n]$x[n]才能还原出原始信号$x(t)$x(t)。

这一点其实容易想明白，比如下面三个信号：

如果在T的整数倍处对三个信号采样，你会发现采样出的信号是完全一致的，这就导致你无法还原原始信号。因此，我们要明确采样频率和原信号的中包含的最高频率分量的关系。

通常来说，我们对于一个连续信号采样时，是截取$x(t)$x(t)在某一时刻的值，因此不妨将整个采样过程看做$x(t)$x(t)与$p(t)$p(t)的乘积，其中$p(t)$p(t)是梳妆函数，它是一系列冲激信号的延时叠加：
$p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta(t-nT)$p(t)=n=−∞∑+∞​δ(t−nT)

它的时域图像如下：

对它做傅里叶变换得到频域图像如下：

对应的表达式为

$P(jw) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(w - kw_s)$P(jw)=k=−∞∑+∞​δ(w−kws​)

而对于$x(t)$x(t)，我们需要假设它是一个带限信号，意味着它在频率上是有界的（否则就会发生频谱混叠）。它的频域图像如下：

以上就是我们对输入信号$x(t)$x(t)和采样信号$p(t)$p(t)的直观认识，接下来推导采样定理。

1. 卷积定理

之前我们有说过，时域卷积等于频域相乘，频域相乘等于时域卷积。这个结论对于我们推导采样定理以及建立对傅里叶变换后的频域的认识非常重要。因此先推导这个结论。

假设有信号
$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$y(t)=x(t)∗h(t)=∫−∞+∞​x(τ)h(t−τ)dτ

直接对$y(t)$y(t)做傅里叶变换：
$Y(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau]e^{-jwt}dt$Y(jw)=∫−∞+∞​[∫−∞+∞​x(τ)h(t−τ)dτ]e−jwtdt
交换积分次序，且由于$x(\tau)$x(τ)与$t$t无关

$= \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)[\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau)e^{-jwt}dt]d\tau$=∫−∞+∞​x(τ)[∫−∞+∞​h(t−τ)e−jwtdt]dτ

根据傅里叶变换的时移性质：
若$x(t)$x(t)的傅里叶变换为$X(jw)$X(jw)，则$x(t-\tau)$x(t−τ)的傅里叶变换为：
$\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-\tau)e^{-jwt}dt = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t-\tau)e^{-jw(t-\tau)}e^{-jw\tau}dt=e^{-jw\tau}X(jw)$∫−∞+∞​x(t−τ)e−jwtdt=∫−∞+∞​x(t−τ)e−jw(t−τ)e−jwτdt=e−jwτX(jw)

因此，上式中方括号内的部分就可以用时移定理处理。

$= \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)[e^{-jw\tau}H(jw)]d\tau$=∫−∞+∞​x(τ)[e−jwτH(jw)]dτ

且$H(jw)$H(jw)与$\tau$τ无关，可移出积分外。

$= H(jw)\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)e^{-jw\tau}d\tau = H(jw)X(jw)$=H(jw)∫−∞+∞​x(τ)e−jwτdτ=H(jw)X(jw)

故而
$y(t) = x(t) * h(t)$y(t)=x(t)∗h(t)
的傅里叶变换为
$Y(w) = X(jw)H(jw)$Y(w)=X(jw)H(jw)

对于频域卷积的情况，由于情况是对称的，所以不再单独推导。

2. 采样定理推导

之前的结论是，对于采样过程，可以写成
$x_p(t) = x(t)p(t)$xp​(t)=x(t)p(t)

那么，对于$x_p(t)$xp​(t)的傅里叶变换$X_p(jw)$Xp​(jw)，就是频域卷积$X(jw)*P(jw)$X(jw)∗P(jw)。

之前我们已经给出了$P(jw)$P(jw)的图像。它在频域上也是冲激信号的延时叠加。

而对于一个信号，与冲激信号进行卷积，就相当于将该信号进行移位：
$X(jw)*\delta(w-kw_s) = X(j(w - kw_s))$X(jw)∗δ(w−kws​)=X(j(w−kws​))
故而，$X_p(jw)$Xp​(jw)的图像就是$X(jw)$X(jw)的一系列位移叠加。

图中，$w_s$ws​是采样信号$p(t)$p(t)的频率，$w_s = 2\pi/T$ws​=2π/T。$w_M$wM​为原始信号中包含的最大频率分量。显然，从图中可以看到，仅当$w_s > 2w_M$ws​>2wM​时，频谱才不会发生混叠，才能唯一还原成原信号$x(t)$x(t)。

3. 傅里叶变换的频域标度

通常在做傅里叶变换时，我们取N个点的时域信号，然后做DFT之后变成频域表示，同样有N个点。那么这N个点代表什么呢？

这里要回想一下之前的离散傅里叶变换

$X[k] = \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$X[k]=n=<N>∑​x[n]e−jkN2π​n

显然$k$k是以$N$N为周期的。并且，$|X[-k]| = |X[-k]|$∣X[−k]∣=∣X[−k]∣，这和上图中的c保持一致。

当$k = N$k=N时，$k\frac{2\pi}{N} = 2\pi$kN2π​=2π，从上面的图不难发现，这里的$2\pi$2π对应的就是采样率$w_s$ws​，如果换算成Hz为单位的频率，它其实就代表的是我们通常在音频文件中所说的采样率，比如44100Hz。而$k = N/2$k=N/2时，就代表采样率的一半。而由于频域图像的对称性，所以通常来说，真正表示频域信息的区域仅在$[0, \pi]$[0,π]内，这也是为什么通常我们从matlab中看到的频率分析定义域都是$[0, \pi]$[0,π]。

以通常的音频文件采样率举例，最常见的采样率就是44.1kHz，那么这个采样率能表示的信号的最高频率就是22.05kHz。而人耳能感受到的声音频率范围是20Hz~20kHz，因此，这个采样率可以说是专为人耳特定的。而由于现在存储媒介容量大幅增长，网络速度也越来越快，更高的采样率如48kHz、96kHz也逐渐开始流行。