重学贝叶斯定理

前阵子面试时被一道贝叶斯定理的题问倒了，虽说是很久没接触遗忘了，但也反映了个人在概率学习上不够扎实，也没有做到学而时习，实在惭愧。在这里重新温习一下贝叶斯定理。
说到 贝叶斯定理，就不得不重点提一下 条件概率 和 全概率：

一、条件概率

定义：假定事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)$ ，事件 $B$ 发生的概率为 $P(B)$ 。在事件 $B$ 发生的前提下，事件 $A$ 发生的概率 $P(A|B)$ 就是条件概率。
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
用文氏图理解一下：
重学贝叶斯定理
事件 $B$ 发生后，事件 $A$ 发生的概率，就是上图 $A$ 与 $B$ 交集部分 $P(AB)$ 在 $P(B)$ 部分的占比，即： $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ ，
同理，事件 $A$ 发生后，事件 $B$ 发生的概率就是： $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$ 。
所以条件概率公式又可以推导为：
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} =\frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)} \tag{1}$

注：
当事件 A 与事件 B 相互独立时： $P(AB)=P(A)*P(B)$ 。

二、全概率

定义：设事件 $B_1, B_2, …, B_n$ 是一个完备事件组，即它们互不相容，和为全集。则对于任意的事件 $A$ 都有：
$P(A) = P(AB_1) + P(AB_2) + … + P(AB_n) = \sum_{i=1}^{n}P(AB_i)$
由条件概率的定义可知： $P(AB) = P(A|B)*P(B)$ ，所以：
$P(A) = \sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i) \tag{2}$

全概率就是表示造成某个结果，有多种原因，问造成这种结果的概率是多少。

用文氏图理解一下：
重学贝叶斯定理
$A_1、A_2、A_3$ 组成了一个完备事件组，要求事件 $B$ 发生的概率，就是求事件 $B$ 与事件 $A_1$ 同时发生的概率、事件 $B$ 与事件 $A_2$ 同时发生的概率、事件 $B$ 与事件 $A_3$ 同时发生的概率的之和。

三、贝叶斯定理

贝叶斯定理是执果索因的过程，就是当已知结果（后验概率），问导致这个结果的第 i 原因（先验概率）的可能性是多少。
在条件概率公式和全概率公式的基础上可以推出贝叶斯定理：
$P(B_i|A) =\frac{P(AB_i)}{P(A)}= \frac{P(A|B_i)P(B_i))}{\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)} \tag{3}$

现有这么一个场景：某员工通勤有 3 条路线可以选择，路线1最近，选择路线1的概率为 50%，选择路线2的概率为30%，选择路线3的概率为20%。
假设已知选择路线1但是未迟到的概率是20%，选择路线2但是未迟到的概率是40%，选择路线3但是未迟到的概率是70%。
请问，该员工在某天未迟到，他选择路线1的可能性有多大？

解：
令事件未迟到为 $A$ ，选择路线 $i$ 为 $B_i$ 。
已知：

$P(B_1) = 0.5$ ; $P(A|B_1)=0.2$ ;

$P(B_2) = 0.3$ ; $P(A|B_2)=0.4$ ;

$P(B_1) = 0.2$ ; $P(A|B_3)=0.7$ ;

求 $P(B_1|A)$ ？

那么引用式（3）：
$P(B_i|A) =\frac{P(AB_i)}{P(A)}= \frac{P(A|B_i)P(B_i))}{\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$
$P(B_1|A) =\frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)}\approx0.28$

参考：https://blog.csdn.net/u010164190/article/details/81043856