连续信号（三） | 周期信号的频谱分析 | 傅里叶级数展开式 + 频谱特性

连续信号的频域分析

由信号正交分解的思想可知，由于三角函数集是完备正交函数集，任意信号都可以分解为三角函数表达形式，换言之，任意信号都可视为一系列正弦信号的组合，这些正弦信号的频率、相位等特性势必反映了原信号的性质，这样出现了用频率域的特性来描述时间域信号的方法，即信号的频域分析法。频率特性是信号的客观性质，如光线的颜色、声音的音调，比信号的时域特性更能反映信号的基本特性。

周期信号的频谱分析

周期信号：
$x(t)=x(t+mT) \quad m=0,\pm1,\pm2,\cdots$x(t)=x(t+mT)m=0,±1,±2,⋯
信号的角频率为$w=2\pi f $

（一）周期信号的傅里叶级数展开式

狄利赫里条件：

1. 函数$x(t)$x(t)在一个周期内绝对可积，即$\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}|x(t)|dt<\infty$∫−2T0​​2T0​​​∣x(t)∣dt<∞
2. 函数在一个周期内只有有限个不连续点，在这些点上函数取有限值
3. 函数在一个周期内只有有限个极大值和极小值

通常的周期信号都满足该条件。

一个周期为$T_0=\frac{2\pi}{w_0}$T0​=w0​2π​的周期信号，只要满足狄利赫里（Dirichlet）条件，都可以分解成三角函数表达式，即
$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\,nw_0t+b_nsin\,nw_0t) \tag{1}$x(t)=2a0​​+n=1∑∞​(an​cosnw0​t+bn​sinnw0​t)(1)
上式的无穷级数称为三角傅里叶级数。式中，$a_n(n=0,1,2,\cdots)、b_n(n=0,1,2,\cdots)$an​(n=0,1,2,⋯)、bn​(n=0,1,2,⋯)为傅里叶系数。

为了求得傅里叶系数，可将式（1）两边在一个周期内（为简单起见$-\frac{T_0}{2}\sim \frac{T_0}{2}$−2T0​​∼2T0​​）对时间进行积分，则得
$\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)dt=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\frac{a_0}{2}dt+0=\frac{1}{2}a_0T_0 \\ a_0=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)dt \quad\quad\quad (2)$∫−2T0​​2T0​​​x(t)dt=∫−2T0​​2T0​​​2a0​​dt+0=21​a0​T0​a0​=T0​2​∫−2T0​​2T0​​​x(t)dt(2)
同理，将式（1）两边乘以$cos\,nw_0t$cosnw0​t后在一个周期内求积分，并利用三角函数集的正交特性，得
$\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)cos\,nw_0tdt=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}a_ncos\,nw_0t·cos\,nw_0tdt = \frac{1}{2}a_nT_0 \\ a_n=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)cos\,nw_0tdt \quad n=1,2,\cdots \quad \quad(3)$∫−2T0​​2T0​​​x(t)cosnw0​tdt=∫−2T0​​2T0​​​an​cosnw0​t⋅cosnw0​tdt=21​an​T0​an​=T0​2​∫−2T0​​2T0​​​x(t)cosnw0​tdtn=1,2,⋯(3)
类似地，将式（1）两边乘以$sin\,w_0t$sinw0​t后在一个周期内求积分，得
$b_n=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)sin\,nw_0tdt \quad n=1,2,\cdots$bn​=T0​2​∫−2T0​​2T0​​​x(t)sinnw0​tdtn=1,2,⋯
显然式（2）可以合并到式（3）中，并且$a_n$an​和$b_n$bn​分别是n的偶函数和奇函数。将式（1）中的同频率项合并，得
$x(t)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty A_ncos(nw_0t+\varphi_n) \tag{4}$x(t)=2A0​​+n=1∑∞​An​cos(nw0​t+φn​)(4)
式中
$A_0=a_0, \quad A_n =\sqrt{a_n^2+b_n^2} ,\quad \varphi_n=-arctan\frac{b_n}{a_n} \quad \tag{5}$A0​=a0​,An​=an2​+bn2​​,φn​=−arctanan​bn​​(5)
式（4）是三角傅里叶级数的另外一种形式，它表明一个周期信号可以分解为直流分量和一系列余弦或正弦形式的交流分量。由式（2）可进一步知道，其中的直流分量是信号在一个周期内的平均值。

信号的三角傅里叶级数形式具有比较明确的物理意义，但运算不方便。在连续信号的时域描述中知道，正弦型信号和复指数型信号具有同一性。而且复指数函数集$\{e^{jnw_0t}\}(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)${ejnw0​t}(n=0,±1,±2,⋯)在$t_0,t_0+\frac{2\pi}{w_0}$t0​,t0​+w0​2π​内是完备正交函数集，因此，可以得出傅里叶级数的指数形式。

式（4）可以写成
$x(t)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{A_n}{2}[e^{j(nw_0t+\varphi_n)}+e^{-j(nw_0t+\varphi_n)}] \\ =\frac{A_0}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty A_ne^{j\varphi_n}e^{jnw_0t}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-j\varphi_n}e^{-jnw_0t}$x(t)=2A0​​+n=1∑∞​2An​​[ej(nw0​t+φn​)+e−j(nw0​t+φn​)]=2A0​​+21​n=1∑∞​An​ejφn​ejnw0​t+21​n=1∑∞​An​e−jφn​e−jnw0​t
由式（5）可知，$A_n$An​是n的偶函数，$\varphi_n$φn​是n的奇函数，上式可写为
$x(t)=\frac{A_0}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{jw_n}e^{jnw_0t}+\frac{1}{2}\sum_{n=-1}^{-\infty}A_ne^{j\varphi_n}e^{jnw_0t}$x(t)=2A0​​+21​n=1∑∞​An​ejwn​ejnw0​t+21​n=−1∑−∞​An​ejφn​ejnw0​t
考虑到$\varphi_0=0$φ0​=0，$A_0$A0​可以表示为$A_0e^{jw_0}e^{jnw_0t}$A0​ejw0​ejnw0​t，上式可进一步写为
$x(t)=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_ne^{j\varphi_n}e^{jnw_0t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(nw_0)e^{jnw_0t}$x(t)=21​n=−∞∑∞​An​ejφn​ejnw0​t=n=−∞∑∞​X(nw0​)ejnw0​t
这是傅里叶级数的指数形式，其中复数量$X(nw_0)=\frac{1}{2}A_ne^{j\varphi_n}$X(nw0​)=21​An​ejφn​称为复傅里叶系数，是n（或$nw_0$nw0​）的函数，可求得如下
$X(nw_0)=\frac{1}{2}A_ne^{j\varphi_n}=\frac{1}{2}[A_ncos\varphi_n+jA_nsin\varphi_n] = \frac{1}{2}(a_n-jb_n) \\ =\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)cos\,nw_0tdt-j\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)sin\,nw_0tdt \\ =\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jnw_0t}dt \quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots \quad \quad (6)$X(nw0​)=21​An​ejφn​=21​[An​cosφn​+jAn​sinφn​]=21​(an​−jbn​)=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​x(t)cosnw0​tdt−jT0​1​∫−2T0​​2T0​​​x(t)sinnw0​tdt=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​x(t)e−jnw0​tdtn=0,±1,±2,⋯(6)
式中，$A_ncos\varphi_n=a_n,A_nsin\varphi_n=-b_n$An​cosφn​=an​,An​sinφn​=−bn​，很容易从式（5）看出。

例1：求下图所示的周期矩形脉冲信号的复指数形式傅里叶级数表示式。

矩形脉冲信号在一个周期内可表示为
$x(t)=\begin{cases} E & -\frac{\tau}{2}\leq t\leq \frac{\tau}{2} \\ 0 & 其他 \end{cases}$x(t)={E0​−2τ​≤t≤2τ​其他​
按式（6）可求得复指数形式傅里叶系数
$X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jnw_0t}dt=\frac{E\tau}{T_0}\frac{sin\frac{1}{2}nw_0\tau}{\frac{1}{2}nw_0\tau}$X(nw0​)=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​x(t)e−jnw0​tdt=T0​Eτ​21​nw0​τsin21​nw0​τ​

$x(t)=\frac{E\tau}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}Sa(\frac{nw_0\tau}{2})e^{jnw_0t}$x(t)=T0​Eτ​n=−∞∑∞​Sa(2nw0​τ​)ejnw0​t

对于实信号$x(t)$x(t)，由于$X^*(t)=x(t)$X∗(t)=x(t)，有
$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X^*(nw_0)e^{-jnw_0t}$x(t)=n=−∞∑∞​X∗(nw0​)e−jnw0​t
用-n代替n，则
$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X^*(-nw_0)e^{jnw_0t}$x(t)=n=−∞∑∞​X∗(−nw0​)ejnw0​t
复傅里叶系数的重要性质：$X^*(-nw_0)=X(nw_0)$X∗(−nw0​)=X(nw0​)或$X^*(nw_0)=X(-nw_0)$X∗(nw0​)=X(−nw0​)

取样函数为$\frac{sinx}{x}$xsinx​，记作$Sa(x)$Sa(x)，它是偶函数，当$x\to 0$x→0时，$Sa(x)=1$Sa(x)=1为最大值，随着$|x|$∣x∣的增大而总趋势衰减，$x=\pm \pi,\pm 2\pi,\cdots$x=±π,±2π,⋯为过零点，每$2\pi$2π起伏一次，于是$X(nw_0)$X(nw0​)可写成$X(nw_0)=\frac{E\tau}{T_0}Sa(\frac{nw_0\tau}{2}),\quad n=0,\pm1,\cdots$X(nw0​)=T0​Eτ​Sa(2nw0​τ​),n=0,±1,⋯

可见例1所表示的周期矩形脉冲信号的复傅里叶系数是在$Sa(\frac{w\tau}{2})$Sa(2wτ​)包络函数上以$w_0$w0​等间隔取得的样本，其最大值$(n=0处)$(n=0处)和过零点都由占空比$\frac{\tau}{T_0}$T0​τ​决定。

（二）周期信号的频谱

周期信号可以分解为一系列正弦型信号之和，即
$x(t)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_ncos(nw_0t+\varphi_n)$x(t)=2A0​​+n=1∑∞​An​cos(nw0​t+φn​)
它表明一个周期为$T_0=\frac{2\pi}{w_0}$T0​=w0​2π​的信号，除直流分量（信号在一个周期内的平均值）外，包含了频率为原信号频率以及原信号频率的整数倍的一系列正弦型信号，分别将它们称为基波信号$(n=1)$(n=1)（也称为，一次谐波信号）、二次谐波信号$(n=2)$(n=2)，以及三次、四次···谐波信号，它们的振幅分别为对应的$A_n$An​，相位分别为对应的$\varphi_n$φn​。可见周期信号的傅里叶级数展开式全面地描述了组成原信号的各正弦分量的特征：各谐波分量的频率、幅度和相位。因此也就等于全面地描述了原信号$x(t)$x(t)本身。换言之，对于一个周期信号，只要了信号的基频$w_0$w0​、各谐波的幅度$A_n$An​和相位$\varphi_n$φn​，就等于掌握了该信号的所有特征。

指数形式的傅里叶级数表达式中复数量$X(nw_0)=\frac{1}{2}A_ne^{j\varphi_n}$X(nw0​)=21​An​ejφn​是离散频率$nw_0$nw0​的复函数，其模$|X(nw_0)|=\frac{1}{2}A_n$∣X(nw0​)∣=21​An​反映了各谐波分量的幅度，它的相角$\varphi_n$φn​反映了各谐波分量的相位，因此它能完全描述任意波形的周期信号。我们把复数量$X(nw_0)$X(nw0​)随频率$nw_0$nw0​的分布称为信号的频谱，$X(nw_0)$X(nw0​)也称为周期信号的频谱函数，正如波形是信号在时域的表示，频谱是信号在频域的表示。有了频谱的概念，可以在频域描述信号和分析信号，实现从时域到频域的转变。

由于$X(nw_0)$X(nw0​)包含了幅度和相位的分布，通常把其幅度$|X(nw_0)|$∣X(nw0​)∣随频率的分布称为幅度频谱，简称幅频，相位$\varphi_n$φn​随频率的分布称为相位频谱，简称相频。为了直观，往往以频率为横坐标、各谐波分量的幅度或相位为纵坐标，画出幅频和相频的变化规律，称为信号的频谱图。

例2：画出例1的信号的频谱图，并进行频谱分析。

已求出
$X(nw_0)=\frac{E\tau}{T_0}Sa(\frac{nw_0\tau}{2})$X(nw0​)=T0​Eτ​Sa(2nw0​τ​)
可见$X(nw_0)$X(nw0​)为实数，其相位只有0和$\pm\pi$±π，故可以直接画出其频谱图，即把幅频和相频合成一个图，下图，画出了$E=1,T_0=4\tau$E=1,T0​=4τ的频谱图。

由频谱图可以得出周期矩形脉冲信号的频谱具有三个特点：

（1）离散性：频谱是非周期性的离散的线状频谱，称它们为谱线，连接各谱线顶点的曲线为包络线，它反映了各频率分量的幅度随频率变化的情况。

（2）谐波性：谱线以基波频率$w_0$w0​为间隔等距离分布，表明周期矩形脉冲信号只包含直流分量、基波分量和各次谐波分量。

当$T_0$T0​不变而改变$\tau$τ不变而改变$\tau$τ从而使信号的占空比改变时，由于$w_0$w0​不变，所以谱线之间的间隔不变，但随着$\tau$τ的减小（脉冲宽度减小），第一个过零点的频率增大，谱线的幅度减小。而将$\tau$τ固定，通过改变$T_0$T0​来改变信号的占空比时，随着$T_0$T0​增大，基波频率$w_0$w0​减少，谱线将变得更密集，但第一个过零点的频率不变，谱线的幅度有所降低。作为极端情况，如果周期$T_0$T0​无限增长，周期信号变成了非周期信号，这时，相邻谱线的间隔将趋于零，成为连续频谱。

（3）收敛性：谱线幅度整体上具有减小的趋势，同时，由于各谱线的幅度按包络线$Sa(\frac{1}{2}nw_0\tau)$Sa(21​nw0​τ)的规律变化而等间隔地经过零点，较高幅值的谱线都集中在第一个过零点（$w=nw_0=\frac{2\pi}{\tau}$w=nw0​=τ2π​）范围内，表明信号的能量绝大部分由该频率范围的各谐波分量决定，通常把这个频率范围称为周期矩形脉冲信号的频带宽度或带宽，用符号$w_b$wb​或$f_b$fb​表示。信号的带宽是信号频率特性中的重要指标，它具有实际意义。信号在其带宽内集中了大部分的能量，因此在允许一定失真的条件下，只需传送带宽内的各频率分量就行了；当信号通过某一系统时，要求系统的带宽与信号的带宽匹配，否则，若系统的带宽小于信号的带宽，信号中包含的一部分谐波分量和能量就不能顺利地通过系统。由上可知，脉冲宽度$\tau$τ越小，带宽$w_b$wb​越大，频带内所含的分量越多。

以上三个特点时任何满足狄利赫里条件的周期信号的频谱所共同具有的。

例3：求出复指数信号$e^{jw_0t}$ejw0​t的频谱。

解：复指数信号$e^{jw_0t}$ejw0​t的复傅里叶系数为
$X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}e^{jw_0t}e^{jnw_0t}dt=\frac{1}{2j(1-n)\pi}[e^{j(1-n)\pi}-e^{-j(1-n)\pi}]\\ =\frac{sin(1-n)\pi}{(1-n)\pi}= \begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n\neq 1 \end{cases}$X(nw0​)=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​ejw0​tejnw0​tdt=2j(1−n)π1​[ej(1−n)π−e−j(1−n)π]=(1−n)πsin(1−n)π​={10​n=1n​=1​
可见仅在$w_0$w0​处有幅度为1的分量，说明复指数信号是正弦信号的一种表现形式。

例4：分别求出$cosw_0t$cosw0​t和$sinw_0t$sinw0​t的频谱。

对于余弦信号$cosw_0t$cosw0​t有
$X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}cosw_0te^{-jnw_0t}dt= \begin{cases} \frac{1}{2} & n=\pm 1 \\ 0 & n\neq \pm 1 \end{cases}$X(nw0​)=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​cosw0​te−jnw0​tdt={21​0​n=±1n​=±1​
对于正弦信号$sinw_0t$sinw0​t有
$X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}sinw_0te^{-jnw_0t}dt = \begin{cases} -\frac{j}{2} & n=1 \\ \frac{j}{2} & n=-1 \\ 0 & n\neq \pm1 \end{cases}$X(nw0​)=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​sinw0​te−jnw0​tdt=⎩⎪⎨⎪⎧​−2j​2j​0​n=1n=−1n​=±1​

它们的幅频相同。

负频率概念：频率作为周期信号变化快慢的一个度量，它只能是正值，即实际上只存在正频率，但在它的复指数形式的傅里叶级数表示法中会出现负频率，这只是数学上表示的需要，正是正、负频率的两个分量合起来（正负频率的幅度之和）才表示一个实际存在的正弦谐波分量。因此，$cosw_0t$cosw0​t和$sinw_0t$sinw0​t都是$w_0$w0​处幅度为1的物理信号。此外，$cosw_0t$cosw0​t和$sinw_0t$sinw0​t的相频是不同的，$sinw_0t$sinw0​t信号的相位滞后于$cosw_0t$cosw0​t信号的相位$\frac{\pi}{2}$2π​。