4 卷积的拉普拉斯变换

卷积的拉普拉斯变换

• Laplace transform
• Convolution

系统输入的拉普拉斯变换 $X(t)$X(t) 乘以传递函数 $H(s)$H(s) 等于系统输出的拉普拉斯变换 $Y(s)$Y(s)

Laplace transform

$X(s) = L[X(t)]=\int_{0}^{\infty} X(t) e^{-st} dt$X(s)=L[X(t)]=∫0∞​X(t)e−stdt

Convolution

$x(t) * g(t) = \int_0^{\tau} x(\tau) g(t-\tau) d \tau$x(t)∗g(t)=∫0τ​x(τ)g(t−τ)dτ

证明： $L[x(t) * g(t)]=X(s)G(s)$L[x(t)∗g(t)]=X(s)G(s)

$\begin{aligned} L[x(t)*g(t)] &=\int_{0}^{\infty} \int_0^{t} x(\tau) g(t-\tau) d \tau \; e^{-st} dt \\ &=\int_{0}^{\infty} \int_{\tau}^{\infty} x(\tau) g(t-\tau) \; e^{-st} dt \;d \tau \\ & 令: t-\tau = u \quad t=u+\tau \quad dt=du+d\tau=du \\ &t\in[\tau,\infty) \Rightarrow u=t-\tau \in [0,\infty) \\ &=\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x(\tau)g(u) e^{-s(u+\tau)}du\;d\tau \\ &=\int_0^{\infty}x(\tau)e^{-s\tau}d\tau \int_0^{\infty}g(u)e^{-su}du\\ &=X(s)G(s) \end{aligned}$L[x(t)∗g(t)]​=∫0∞​∫0t​x(τ)g(t−τ)dτe−stdt=∫0∞​∫τ∞​x(τ)g(t−τ)e−stdtdτ令:t−τ=ut=u+τdt=du+dτ=dut∈[τ,∞)⇒u=t−τ∈[0,∞)=∫0∞​∫0∞​x(τ)g(u)e−s(u+τ)dudτ=∫0∞​x(τ)e−sτdτ∫0∞​g(u)e−sudu=X(s)G(s)​

结论：
$L(x(t)*g(t))=L[X(t)]L(G(t))=X(s)G(s)$L(x(t)∗g(t))=L[X(t)]L(G(t))=X(s)G(s)

原视频：
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