复数基础知识

文章目录

复数的概念
复数的算术运算：和、差、积运算
复数几何表示
复共轭

复数的概念

在实数的基础之上引入 虚数单位 $i$ （ $i^2 = -1$ ），这样就有了复数。用实数 $x$ ， $y$ 来表示复数，有下面的形式：
$z=x+y\mathbf{i}$

其中， $x$ 称为 $z$ 的实部， $y$ 称为 $z$ 的虚部，分别用如下信号进行表示：
$\begin{array}{l}{\operatorname{Re} z=x} \\ {\operatorname{Im} z=y}\end{array}$

复数的算术运算：和、差、积运算

复数 $z=x+y\mathbf{i}, z^{\prime}=x^{\prime}+y^{\prime} \mathbf{i}$ 之间的 和、差、积 运算分别如下：

和、差运算：

$\begin{array}{l}{z+z^{\prime}=\left(x+x^{\prime}\right)+\left(y+y^{\prime}\right) \mathbf{i}} \\ {z-z^{\prime}=\left(x-x^{\prime}\right)+\left(y-y^{\prime}\right) \mathbf{i}}\end{array}$

积运算

$\begin{aligned} z z^{\prime} &=(x+y \mathrm{i})\left(x^{\prime}+y^{\prime} \mathrm{i}\right) \\ &=x x^{\prime}+x\left(y^{\prime} \mathrm{i}\right)+(y \mathrm{i}) x^{\prime}+(y \mathrm{i})\left(y^{\prime} \mathrm{i}\right) \\ &=x x^{\prime}+x y^{\prime} \mathrm{i}+y x^{\prime} \mathrm{i}+y y^{\prime} \mathrm{i}^{2} \\ &=x x^{\prime}+x y^{\prime} \mathrm{i}+y x^{\prime} \mathrm{i}-y y^{\prime} \\ &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) \mathrm{i} \end{aligned}$

复数几何表示

实数可以用实轴上的点来表示，复数可以用 复平面 上的点来表示，如下图所示横轴和纵轴分别表示实轴和虚轴。

复数基础知识

我们把到原点 $0$ 的距离定义为复数 $z$ 的绝对值，记作 $|z| = |x+y i|=\sqrt{x^{2}+y{2}} $，$ x, y$ 为实数;
把与实轴之间的夹角记作 $z$ 的幅角，记作： $arg(z)$ ；

复数积的表示
$\begin{aligned}\left|z z^{\prime}\right| &=|z|\left|z^{\prime}\right| \\ \arg \left(z z^{\prime}\right) &=\arg z+\arg z^{\prime} \end{aligned}$

复数基础知识

复数乘方的表示 $n = 1, 2, ...$
$\begin{aligned}\left|z^{n}\right| &=|z|^{n} \\ \arg \left(z^{n}\right) &=\operatorname{narg} z \end{aligned}$

当 $n \rightarrow \infty$ 时，有：
$\left|z^{n}\right| \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}{0} & {(|z|<1)} \\ {1} & {(|z|=1)} \\ {\infty} & {(|z|>1)}\end{array}\right.$

指数函数的定义
指数函数可以进行如下定义，针对实数 $x，y$ 有：
$\mathrm{e}^{x+\mathrm{i} y}=\mathrm{e}^{x}(\cos y+\mathrm{i} \sin y)$

其中：
$\begin{aligned}\left|e^{x+i y}\right| &=e^{x} \\ \arg \left(e^{x+i y}\right) &=y \end{aligned}$
当 $n \rightarrow \infty$ 时，有：
$\left|\mathrm{e}^{z t}\right|=\left|\mathrm{e}^{z}\right|^{t} \rightarrow\left\{\begin{array}{ll}{0} & {(\text { Re } z<0)} \\ {1} & {(\text { Re } z=0)} \\ {\infty} & {(\text { Re } z>0)}\end{array}\right.$

复共轭

如果定义 $z=x+y\mathbf{i}$ ，那么其 复共轭 为 $\overline{z}=x-y i$ 。
对于复数 $z， w$ ，如下性质是成立的：
$\begin{aligned} \overline{z+w} &=\overline{z}+\overline{w} \\ \overline{z w} &=\overline{z} \overline{w} \\ z \overline{z} &=|z|^{2} \end{aligned}$